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S3=1－1＋1=1
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S4=1－1＋1－1=0
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不难看出，这个无穷数列的部分总和不断地在0和1之间振荡。不管我们加多少项，部分总和永远会在0和1之间摆动，它不会收敛到0，也不会收敛到1，更不会收敛到1/2。因为上述无穷数列1－1＋1－1＋1－1＋……的和不会向任何一个数收敛，所以今天的数学家会说，这个数列是发散的。
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换句话说，当我们不断地加上更多的项，这个数列的部分总和都不会趋向于任何极限值。因此，讨论这个无限数列的和是没有意义的。
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既然如此，如果我们小心地避开这样的领域，只考虑那些会收敛的无限数列的和，之前的悖论是不是就完全解决了呢？
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很遗憾，不是的，噩梦还在继续。但是，这样的噩梦带来的也并不都是负面信息，正是在与这些“恶魔”的战斗中，18世纪的数学家们发现了微积分学科里深埋的秘密，并把这些秘密暴露于阳光下。在这个过程中，我们获得了很多宝贵的经验，学到了很多无价的知识。这些经验不仅关乎数学本身，还关乎数学在音乐、医学成像等领域的应用。
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让我们来考虑这样一个级数，它的学名叫作“交错调和级数”，形式如下：
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与上文提到的那个无穷级数不同的是，现在我们不是前进一步又后退一步以至无穷了。这个级数的每一步都比前一步小一些：前进一步，后退半步，再前进1/3步，又后退1/4步，如此重复，以至无穷。注意，在交错调和级数中，奇数项的前面是正号，偶数项的前面是负号。交错调和级数的部分总和的计算如下：
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如果我们一直这样加下去，就会发现这个级数的部分总和朝着一个约等于0.69的数字收敛。事实上，我可以证明，这个级数是收敛的，它的极限值是2的自然对数ln2。ln2的值大约是0.693 147。
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所以，这怎么会是“噩梦”呢？这不是挺好的吗？从外表来看，交错调和级数收敛得完全正常，就像一个懂礼貌、有教养的绅士，是每个父母心目中的“理想女婿”的人选。
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然而，这种无害的外表，正是交错调和级数最危险的地方。在温文尔雅的外表下，隐藏的是一个骗子、一个变色龙、一个超级狡猾的精神病人，这个人可以扮成任何模样，只要用不同的方法对这个级数求和，你就可以得到任何你想要的结果。这个级数可以收敛为任何实数：可以是297.126，可以是－42p，可以是0，你想让它是什么，它就能变成什么。
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在交错调和级数的眼里，加法结合律根本一文不值。只要改变求和的顺序，就可以随意改变求和的结果，这种事情在有限项求和中是永远不可能发生的。因此，虽然交错调和级数是收敛的，但是它仍然具有一些无法想象的奇特性质。
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在此，我不打算详细证明这个结论（这个结论的学名叫作“黎曼重排定理”或者“黎曼级数定理”）。为了获得一个直观的印象，让我们来看一种特定的“重排”方法，这种重排方法比较简单，求和也相对容易。假设我们把交错调和级数中每两个负数项和一个正数项结合起来：
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然后，将每一个括号里的算式进行化简运算：第一项和第二项相减，第三项保持不变。经过这样的处理，这个级数就变成：
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现在，我们从每个括号中提出一个1/2来，这个级数就变为：
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看出什么端倪来了吗？括号中的算式不就是交错调和级数本身吗？重排之后，这个级数仍然含有与原来相同的项，但是结果却变成了原来的1/2。经过这样的重排，交错调和级数收敛为ln2=0.346……这是一种多么奇特的情况！但是，你可能没有想到的是，交错调和级数和我们的现实生活是息息相关的。在本书里，我们可以反复发现，哪怕是最深奥、最抽象的数学概念，也能被应用到现实世界中去。交错调和级数和科学技术领域里的许多问题都有联系：在信号处理领域，在声学、金融和医学领域，我们常常需要把各种各样的曲线、声音、信号或者图像表达为一些更为简单的曲线、声音、信号或图像的加总。如果加总的基本单位是正弦波，那么这种技巧就叫作“傅里叶分析”。当要分析的级数具有与交错调和级数（或者与交错调和级数类似的级数）类似的性质时，经过傅里叶分析得出的傅里叶级数的收敛性质可以说是非常奇特的。
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下面这个例子就是直接从交错调和级数变化而来的一个傅里叶级数：
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