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希尔伯特酒店的特殊之处在哪里呢？这个酒店的特点是：它永远显示满房，却又永远有空房间。
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希尔伯特酒店的面积非常大，成百上千都不足以形容酒店的房间数量，它的房间数量是无穷大。每有一位新的顾客到来，酒店经理就让1号房的客人移去2号房、2号房的客人移去3号房、3号房的客人移去4号房……这样，1号房间就可以空出来给新的客人居住，而之前的所有入住客人仍然都有房间可住（除了要麻烦他们换一下房间）。
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现在，假设突然来了无穷多个新客人，他们风尘仆仆，不耐烦地要求马上入住。这可难不倒希尔伯特酒店的经理。这次，经理另辟蹊径：让1号房的客人移去2号房，2号房的客人移去4号房，3号房的客人移去6号房……这样折腾了一番之后，所有奇数号的房间都空了出来——无穷大间奇数号的房间，完全可以容纳下无穷多位新客人。
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这一轮腾挪，事情还没有结束。深夜时分，酒店门口突然驶来了无数辆客车，每辆客车里面都有无数位客人。这些客人全部要求入住，希尔伯特酒店仍然表示毫无压力，因为它的宗旨就是：永远有空房！
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希尔伯特酒店的经理可是见过大世面的，这种场面一点儿也吓不倒他。首先，他故技重施：让1号房的客人移去2号房，2号房的客人移去4号房，3号房的客人移去6号房……移完之后，所有奇数号的房间都空了出来，酒店又有了无穷多间空房间。
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但是，这么多间空房间真的够新客人居住吗？看起来有点儿悬，因为酒店需要接待的新客人的人数似乎是无穷大的平方。（因为酒店门口有无数辆客车，每辆客车里面又有无数位客人，所以客人的总数应该是无穷大乘以无穷大，虽然我们暂时不清楚无穷大乘以无穷大到底有多大。）
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到了这一步，无穷大的逻辑似乎变得有点儿奇怪了。
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那么，希尔伯特酒店的经理到底应该如何安置这些新客人呢？我可以通过图示来让问题变得更直观一些。
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当然，我无法画出一张有无穷多位客人的图，毕竟本书的篇幅不是无穷大的。而且，这张有限的图已经足够说明问题了。虽然图没有画全，但是我们知道，只要不断地增加图的行数和列数，任何一辆给定客车上的任何一位给定的客人（比如从路易斯维尔来度假的伊内兹女士）都会在这幅图的某一个位置上出现。从这个意义上来说，这张图已经描述了所有客人的情况。任何一位客人，只要你叫得出名字，我只需延展一下这张图，就一定能找到他的位置。
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希尔伯特酒店的经理需要设计一种算法，通过这种算法，每个新客人最终都会被安排到一间空房间里去，在一位给定的客人被安顿下来之前，应该只有有限个步骤。
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遗憾的是，希尔伯特酒店的经理没能理解这个算法的要求。他一直忙着安顿第一辆客车上的客人（这辆客车上有无穷多位客人），而没空理会其他客车上的客人。所以，其他客车上的客人已经等得不耐烦了，他们开始叫骂，场面一片混乱。经理的算法可以用下图中的箭头表示：经理一直在安排第一辆客车上的客人，所以这是一条从西向东的直线，这条直线只穿过第一行。
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为了控制混乱的场面，希尔伯特酒店赶紧又派来一位经理。这位经理非常聪明，他不是只安排第一辆客车上的乘客，而是从下图的一个角开始，沿着折线向前依次安排客人。
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这位更聪明的经理最先安置1号客车上的1号客人，接着安置1号客车上的2号客人，再接着安排2号客车上的1号客人（上图中的第二条对角线）。随后他依次安置第3条对角线上的客人：3号客车上的1号客人、2号客车上的2号客人、1号客车上的3号客人。
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希望看过上面这幅图以后，你已经搞清楚这位经理所用的方法了：沿着矩阵的一条条对角线依次安置客人，每个客人都能在有限的步骤之内被安排妥当。
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通过这种算法，希尔伯特酒店又一次兑现了它的服务承诺：永远有空房！
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我上面所说的算法，是无穷集合理论中的一种著名的算法。康托尔正是用这种算法证明了正分数（p/q, 其中p、q为任意正整数）的数量和自然数（1，2，3，4……）的数量一样多。显然，这个命题比“正分数集和自然数集各自都有无穷多个元素”要强大很多。康托尔证明，正分数集和自然数集都有无穷多个元素，而且这两个无穷大是同等量级的无穷大，因为正分数集和自然数集的元素之间可以形成一种一一对应的关系。
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这种一一对应的关系就好像一种择偶关系，每一个自然数都能找到自己的正分数，反之亦然。这种一一对应关系的存在与我们的常识和直觉是严重抵触的，所以，庞卡莱才会拒不接受这种理论，并认为它是一种诡辩。按照这种理论，我们可以在一张清单上极尽所能地列出所有正分数，但是我们却无法指出其中哪一个正分数是最小的，这真是令人抓狂。
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事实上，在希尔伯特酒店里，这张清单已经列好了：正分数p/q相当于客车q上的客人p，酒店的房间号1、2、3、4……正是自然数集。那位聪明的酒店经理已经为我列好了一张一一对应的清单。
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更让人震惊的是，康托尔还证明了“有一些无限集比另一些无限集要大”。比如，0和1之间的实数就是不可数的——0和1之间的实数无法与自然数建立起一一对应的关系。对于希尔伯特酒店来说，这意味着，如果所有0和1之间的实数都来到酒店前台要求入住，那么希尔伯特酒店就无法再维持自己“永远有空房”的服务承诺：有无数间房间的希尔伯特酒店，也住不下0和1之间的所有实数。
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怎么证明这个结论呢？康托尔使用了矛盾法。首先，假设0和1之间的每个实数都能被安置在希尔伯特酒店的一间客房里。那么，此时希尔伯特酒店的房客登记簿应该是以下这种情况（用小数形式表示这些实数）。
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