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1701004071 这位更聪明的经理最先安置1号客车上的1号客人,接着安置1号客车上的2号客人,再接着安排2号客车上的1号客人(上图中的第二条对角线)。随后他依次安置第3条对角线上的客人:3号客车上的1号客人、2号客车上的2号客人、1号客车上的3号客人。
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1701004073 希望看过上面这幅图以后,你已经搞清楚这位经理所用的方法了:沿着矩阵的一条条对角线依次安置客人,每个客人都能在有限的步骤之内被安排妥当。
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1701004075 通过这种算法,希尔伯特酒店又一次兑现了它的服务承诺:永远有空房!
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1701004077 我上面所说的算法,是无穷集合理论中的一种著名的算法。康托尔正是用这种算法证明了正分数(p/q, 其中p、q为任意正整数)的数量和自然数(1,2,3,4……)的数量一样多。显然,这个命题比“正分数集和自然数集各自都有无穷多个元素”要强大很多。康托尔证明,正分数集和自然数集都有无穷多个元素,而且这两个无穷大是同等量级的无穷大,因为正分数集和自然数集的元素之间可以形成一种一一对应的关系。
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1701004079 这种一一对应的关系就好像一种择偶关系,每一个自然数都能找到自己的正分数,反之亦然。这种一一对应关系的存在与我们的常识和直觉是严重抵触的,所以,庞卡莱才会拒不接受这种理论,并认为它是一种诡辩。按照这种理论,我们可以在一张清单上极尽所能地列出所有正分数,但是我们却无法指出其中哪一个正分数是最小的,这真是令人抓狂。
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1701004081 事实上,在希尔伯特酒店里,这张清单已经列好了:正分数p/q相当于客车q上的客人p,酒店的房间号1、2、3、4……正是自然数集。那位聪明的酒店经理已经为我列好了一张一一对应的清单。
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1701004083 更让人震惊的是,康托尔还证明了“有一些无限集比另一些无限集要大”。比如,0和1之间的实数就是不可数的——0和1之间的实数无法与自然数建立起一一对应的关系。对于希尔伯特酒店来说,这意味着,如果所有0和1之间的实数都来到酒店前台要求入住,那么希尔伯特酒店就无法再维持自己“永远有空房”的服务承诺:有无数间房间的希尔伯特酒店,也住不下0和1之间的所有实数。
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1701004085 怎么证明这个结论呢?康托尔使用了矛盾法。首先,假设0和1之间的每个实数都能被安置在希尔伯特酒店的一间客房里。那么,此时希尔伯特酒店的房客登记簿应该是以下这种情况(用小数形式表示这些实数)。
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1701004087 房间1:0.670 811 234 5……
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1701004089 房间2:0.191 867 605 3……
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1701004091 房间3:0.437 285 467 5……
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1701004093 房间4:0.284 563 548 0……
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1701004095 记住,这个登记簿应该是一张安置下所有房客的清单。0和1之间的每一个实数都应该出现在这份清单的某个位置上(排在有限位上)。
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1701004097 康托尔证明,很多0和1之间的实数都不在这份清单上,这就是矛盾的地方。我们可以构造出一个不在上面这张清单上的实数,比如,我们用下面画线的数字组成一个新的实数。
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1701004099 房间1:0.670 811 234 5……
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1701004101 房间2:0.191 867 605 3……
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1701004103 房间3:0.437 285 467 5……
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1701004105 房间4:0.284 563 548 0……
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1701004107 这个新的实数是0.697 5……。
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1701004109 但是,我们的工作到此还没有结束。下一步,我们把这个新实数的每一位都替换掉,替换成一个和原来数字不同的1~8之间的数字。比如,我们可以把0.697 5……中的6换成3、9换成2、7换成5,诸如此类。
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1701004111 这样,我们就又得到了一个新的实数0.325……。接下来,我们证明0.325……这个实数肯定不在酒店客人的清单中。首先,0.325……肯定不在1号房里,因为1号房的房客小数点后第一位是6而不是3;然后,0.325……也肯定不在2号房里,因为0.325……的小数点后的第三位和2号房客的记录不符。一般情况下,0.325……不可能在第n号房间里,因为它小数点后第n位一定和n号房的房客不符。由此我们证明,0.325……这个数不存在希尔伯特酒店的任何一间房间里。
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1701004113 最终的结论是,希尔伯特酒店住不下0和1之间的所有实数。0和1之间的所有实数的数量实在是太多了,它们的数目是无穷大以外的无穷大。
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1701004115 让我们带着这个谦虚的理念,结束本书的数学之旅。在本书一开始,我曾提到过另一家虚拟酒店——“毛绒武器”饭店。芝麻街里的汉弗莱先生在“毛绒武器”饭店担任午餐服务员时,接到了一群饥饿的企鹅的订餐电话: “鱼、鱼、鱼、鱼、鱼、鱼。”在接下来的剧情中,汉弗莱先生认识到了数字的力量。
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