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这位更聪明的经理最先安置1号客车上的1号客人，接着安置1号客车上的2号客人，再接着安排2号客车上的1号客人（上图中的第二条对角线）。随后他依次安置第3条对角线上的客人：3号客车上的1号客人、2号客车上的2号客人、1号客车上的3号客人。
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希望看过上面这幅图以后，你已经搞清楚这位经理所用的方法了：沿着矩阵的一条条对角线依次安置客人，每个客人都能在有限的步骤之内被安排妥当。
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通过这种算法，希尔伯特酒店又一次兑现了它的服务承诺：永远有空房！
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我上面所说的算法，是无穷集合理论中的一种著名的算法。康托尔正是用这种算法证明了正分数（p/q, 其中p、q为任意正整数）的数量和自然数（1，2，3，4……）的数量一样多。显然，这个命题比“正分数集和自然数集各自都有无穷多个元素”要强大很多。康托尔证明，正分数集和自然数集都有无穷多个元素，而且这两个无穷大是同等量级的无穷大，因为正分数集和自然数集的元素之间可以形成一种一一对应的关系。
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这种一一对应的关系就好像一种择偶关系，每一个自然数都能找到自己的正分数，反之亦然。这种一一对应关系的存在与我们的常识和直觉是严重抵触的，所以，庞卡莱才会拒不接受这种理论，并认为它是一种诡辩。按照这种理论，我们可以在一张清单上极尽所能地列出所有正分数，但是我们却无法指出其中哪一个正分数是最小的，这真是令人抓狂。
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事实上，在希尔伯特酒店里，这张清单已经列好了：正分数p/q相当于客车q上的客人p，酒店的房间号1、2、3、4……正是自然数集。那位聪明的酒店经理已经为我列好了一张一一对应的清单。
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更让人震惊的是，康托尔还证明了“有一些无限集比另一些无限集要大”。比如，0和1之间的实数就是不可数的——0和1之间的实数无法与自然数建立起一一对应的关系。对于希尔伯特酒店来说，这意味着，如果所有0和1之间的实数都来到酒店前台要求入住，那么希尔伯特酒店就无法再维持自己“永远有空房”的服务承诺：有无数间房间的希尔伯特酒店，也住不下0和1之间的所有实数。
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怎么证明这个结论呢？康托尔使用了矛盾法。首先，假设0和1之间的每个实数都能被安置在希尔伯特酒店的一间客房里。那么，此时希尔伯特酒店的房客登记簿应该是以下这种情况（用小数形式表示这些实数）。
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房间1：0.670 811 234 5……
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房间2：0.191 867 605 3……
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房间3：0.437 285 467 5……
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房间4：0.284 563 548 0……
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记住，这个登记簿应该是一张安置下所有房客的清单。0和1之间的每一个实数都应该出现在这份清单的某个位置上（排在有限位上）。
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康托尔证明，很多0和1之间的实数都不在这份清单上，这就是矛盾的地方。我们可以构造出一个不在上面这张清单上的实数，比如，我们用下面画线的数字组成一个新的实数。
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房间1：0.670 811 234 5……
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房间2：0.191 867 605 3……
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房间3：0.437 285 467 5……
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房间4：0.284 563 548 0……
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这个新的实数是0.697 5……。
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但是，我们的工作到此还没有结束。下一步，我们把这个新实数的每一位都替换掉，替换成一个和原来数字不同的1~8之间的数字。比如，我们可以把0.697 5……中的6换成3、9换成2、7换成5，诸如此类。
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这样，我们就又得到了一个新的实数0.325……。接下来，我们证明0.325……这个实数肯定不在酒店客人的清单中。首先，0.325……肯定不在1号房里，因为1号房的房客小数点后第一位是6而不是3；然后，0.325……也肯定不在2号房里，因为0.325……的小数点后的第三位和2号房客的记录不符。一般情况下，0.325……不可能在第n号房间里，因为它小数点后第n位一定和n号房的房客不符。由此我们证明，0.325……这个数不存在希尔伯特酒店的任何一间房间里。
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最终的结论是，希尔伯特酒店住不下0和1之间的所有实数。0和1之间的所有实数的数量实在是太多了，它们的数目是无穷大以外的无穷大。
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让我们带着这个谦虚的理念，结束本书的数学之旅。在本书一开始，我曾提到过另一家虚拟酒店——“毛绒武器”饭店。芝麻街里的汉弗莱先生在“毛绒武器”饭店担任午餐服务员时，接到了一群饥饿的企鹅的订餐电话： “鱼、鱼、鱼、鱼、鱼、鱼。”在接下来的剧情中，汉弗莱先生认识到了数字的力量。
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