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图4-3 连接关系图2
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如果图4-2中，D和A相接壤，则点线连接关系如图4-3所示。
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D和A、B、C都相接，D就只有一个选择，这时有4×3×2＝24种着色方式。图4-3中的每一个点都和其他三个点相接，虽然有24种着色方式，但总是需要四种颜色。
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注意：文中用点来代表国家，用线来表示相连关系，这样和对国家的着色是一致的，可以使关系简化。
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对于四色问题，有下面一些推导过程。
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【问题】出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个两两相邻的国家都相邻。
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【分析】
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图4-4 四个国家连接关系
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四个国家两两相邻，用四个点和六条连线可以很清楚地表示出来，如图4-4所示。
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如图4-4是四点两两相连的最简单情况之一。想在图4-4中添加第五个点和以上四点都相连且连线不相交，显然是不可能的。
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换言之，一个平面内不可能出现五个点两两相连且连线不相交。
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因此，不可能出现第五个国家与四个两两相邻的国家都相邻。也就是说不可能出现五个国家两两相邻。间接说明四色原理成立。
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【问题】出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都相邻。
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【分析】
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引入一个新概念——影响线。
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若A和B两国不同色，它们中心点之间必然存在着一些连线，这些线起到影响双方的作用，即影响线。若A和B相邻，它们之间连线就是影响线；若A和B不相邻，影响它们的线会有很多条，则需要找到一条最具有代表性的线作为影响线。
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若A和B不相邻且不同色，令A为a色，B为b色。A必不为b色，所以必有一b色非B国家b1与A相邻；B必不为a色，同样必有一a色非A国家a1与B相邻。若a1与b1相邻，连接的中心点，这根连线我们就称为A和B的影响线。具体连接图如图4-5所示。
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图4-5 相连状态1
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若a1和b1不相邻，a1必不为b色，必有一b色非B国家b2与a1相邻，b1必不为a色，同样必有一a色非A国家a2与b1相邻。则它们之间的连接关系如图4-6所示。
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