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如图4-4是四点两两相连的最简单情况之一。想在图4-4中添加第五个点和以上四点都相连且连线不相交，显然是不可能的。
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换言之，一个平面内不可能出现五个点两两相连且连线不相交。
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因此，不可能出现第五个国家与四个两两相邻的国家都相邻。也就是说不可能出现五个国家两两相邻。间接说明四色原理成立。
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【问题】出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都相邻。
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【分析】
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引入一个新概念——影响线。
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若A和B两国不同色，它们中心点之间必然存在着一些连线，这些线起到影响双方的作用，即影响线。若A和B相邻，它们之间连线就是影响线；若A和B不相邻，影响它们的线会有很多条，则需要找到一条最具有代表性的线作为影响线。
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若A和B不相邻且不同色，令A为a色，B为b色。A必不为b色，所以必有一b色非B国家b1与A相邻；B必不为a色，同样必有一a色非A国家a1与B相邻。若a1与b1相邻，连接的中心点，这根连线我们就称为A和B的影响线。具体连接图如图4-5所示。
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图4-5 相连状态1
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若a1和b1不相邻，a1必不为b色，必有一b色非B国家b2与a1相邻，b1必不为a色，同样必有一a色非A国家a2与b1相邻。则它们之间的连接关系如图4-6所示。
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图4-6 相连状态2
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同样的若a2与b2相邻，连接和B的中心点这根线就是影响线。
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要找到四个必不同色的国家，就是要找到四个两两影响的国家。也就是说每两个国家之间都有一根影响线。
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如图4-4所示，想在中间插入第五点和其余四个点都相交且交线与其影响线也不相交，是不可能的。线必须相交才能达到目的，而上面的任何一根影响线实际上都是若干连线组成的，是一定相交的。
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同时，这些影响线的真正组成是很多的国家，插入的第五点想穿过影响线上的一个国家与另一个国家相邻也是不可能的。
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根据四色定理给中国地图涂色，如图4-7所示。
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图4-7 中国四色地图
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对于四色涂色，是足够能解决相连板块不同颜色的。
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