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1858年，黎曼先生写下了一篇划时代的论文，题目叫“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859年发表，这是黎曼生前发表的唯一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。
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黎曼猜想：黎曼ς函数非平凡零点的实数部分是。
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黎曼ζ函数：
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其中，为复变量，实部记作。使的点叫做的零点。负偶数的-2，-4，-6，…都是的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点。此外发现的所有零点都具有形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。
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简单地说，黎曼猜想就是想象当时，，即所有非平凡零点都位于这条直线上。这条直线叫做临界线。
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黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学中的许多问题联系在一起。
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首先，黎曼ζ函数与狄里赫利L函数一道构成解析数论的核心。狄里赫利L函数是黎曼ς函数的推广，相应于狄里赫利L函数有广义黎曼猜想：L函数的所有非平凡零点都在临界直线上。
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解析数论在很大程度上是围绕黎曼ς函数和狄里赫利L函数的零点性质展开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ς函数和狄里赫利L函数有关。因此，黎曼ς函数和狄里赫利L函数处于数论的中心地位。
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如果黎曼猜想成立，则ς函数在除以外的地方就肯定没有零点，这样，在σ＝1上显然也没有零点。于是，法国数学家哈达马和比利时数学家德万普据此在1896年分别独立证明了素数定理：
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当时，
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一些学者通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题和关系命题等，发现比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，因此黎曼猜想本身显得尤为关键。
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然而黎曼猜想至今尚未得到有效证明，黎曼猜想可以将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。
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著名数学家谢尔宾斯基曾经说：我们数论知识的积累，不仅依靠已经证明了的理论，而且也依靠那些未知的猜想。也就是说，人们在研究这些猜想的过程中丰富了自己的知识，从而促进了数论和数学其他分支的发展。
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在此，希望广大读者可以继续深究黎曼猜想，给中国国际数学送来鲜花。
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