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这个问题看起来很简单，但是仔细去研究就会发现，正方形的面积等于一个已知圆的面积，而我们的圆的面积表达式为，其中r为圆的半径，，π为一个无理数，因此很难找到一个数使得，其中a为正方形的边长。已经有人证明，此命题“采用尺规作图，求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积”是不成立的。
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（2）三等分任意角
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具体的角的二等分和三等分示意图如图4-12和图4-13所示。
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图4-12 角AOB二等分 图4-13 角AOD三等分 如图4-12所示，对于二等分一个角AOB，采用尺规作图划分平均线是很容易得到的。但是对于如图4-13所示的三等分角而言，问题就没那么容易了，三等分顾名思义就是一个角需要除以3，而3是质数，对于任意的角θ而言，不能保证是有理数的，因此三等分任意角成为一个尺规作图难题，已经有人证明，此命题“采用尺规作图，三等分任意角”是不成立的。
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（3）倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体体积的二倍
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如图4-14所示为一个小立方体，其体积等于如图4-15所示立方体体积的一半。
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图4-14 立方体1 图4-15 立方体2 这个问题可以等效为，其中a为如图4-14所示立方体的边长，b为如图4-15所示的立方体的边长，要使成立，则就是为无理数，因此很难用尺规作图得到一立方体使其体积是一已知立方体体积的二倍，已经有人证明，此命题“采用尺规作图，求作一立方体使其体积是一已知立方体体积的二倍”是不成立的。
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（4）做正十七边形
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采用尺规作图，大家对于正三角形和正六边形等绘图，很轻松就能解决，但是对于正十七边形，这个问题就变得相当复杂了。让我们先来感知一下正十七边形的图形，采用MATLAB编程如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %画正十七边形 cita = 0:2*pi/16:2*pi; %角度取值 for i=1:17 x(i)=30*cos(cita(i)); %画正十七边形的坐标x y(i)=30*sin(cita(i)); %画正十七边形的坐标y end plot(x,y,‘r’,‘linewidth’,2) %画正十七边形 hold on %保持图像句柄，继续画图 cita1 = 0:0.01:2*pi; %角度取值 for i=1:length(cita1) x1(i)=30*cos(cita1(i)); %画圆的坐标y y1(i)=30*sin(cita1(i)); %画圆的坐标y end plot(x1,y1,‘b’,‘linewidth’,2) %画圆 grid on
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运行程序输出图形如图4-16所示。
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图4-16 正十七边形
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如图4-16所示为正十七边形图形，绘制正十七边形，相当于7等分一个平角，一个平角为180度，这个问题就显得很直接明了。平分一个角度，7等分，有点像“尺规作图（2）三等分任意角”这个命题，7等分角度，采用尺规作图是否成立，得依靠实际证明。
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对于这个问题，高斯用代数的方法解决了该问题。
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1801年，高斯证明：如果k是费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。
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高斯视此为生平得意之作，还交待死后要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
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因此，命题“采用尺规作图，做正十七边形”是成立的。
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