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（1）殆素数
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殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N＝A＋B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。用“a＋b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表示为A＋B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1＋1”。
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“a＋b”问题的推进如下：
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1920年，挪威的布朗证明了“9＋9”。
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1924年，德国的拉特马赫证明了“7＋7”。
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1932年，英国的埃斯特曼证明了“6＋6”。
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1937年，意大利的蕾西先后证明了“5＋7”、“4＋9”、“3＋15”和“2＋366”。
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1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5＋5”。
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1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4＋4”。
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1956年，中国的王元证明了“3＋4”，稍后证明了“3＋3”和“2＋3”。
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1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1＋c”，其中c是一个很大的自然数。
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1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1＋5”，中国的王元证明了“1＋4”。
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1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1＋3”。
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1966年，中国的陈景润证明了“1＋2”，即“任一充分大的偶数都可以表示成两个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”。
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（2）例外集合
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在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E（x）。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E（x）永远等于1。当然，直到现在还不能证明E（x）＝1；但是能够证明E（x）远比x小。在x前面的偶数个数大概是；如果当x趋于无穷大时，E（x）与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
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（3）三素数定理
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如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表示成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。在1959年，这个思想就促使潘承洞先生研究了一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。
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（4）几乎哥德巴赫问题
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1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在论文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。
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我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量“几乎哥德巴赫问题”向“哥德巴赫猜想”逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
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林尼克在1953年的论文中并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。目前最好的结果k＝13是英国数学家希思是布朗（D．R．Heath-Brown）和德国数学家普赫塔（Puchta）合作取得的，这是一个很大的突破。
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数学史上的每一步都走的很艰辛，但是对于整个数学史，乃至整个人类来说，都是一个突破、一个提高。
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