1701006200
1701006201
(1)殆素数
1701006202
1701006203
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数,虽然不能证明N是两个素数之和,但足以证明它能够写成两个殆素数的和,即N=A+B,其中A和B的素因子个数都不太多,譬如说素因子个数不超过10。用“a+b”来表示如下命题:每个大偶数N都可表示为A+B,其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然,哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。
1701006204
1701006205
“a+b”问题的推进如下:
1701006206
1701006207
1920年,挪威的布朗证明了“9+9”。
1701006208
1701006209
1924年,德国的拉特马赫证明了“7+7”。
1701006210
1701006211
1932年,英国的埃斯特曼证明了“6+6”。
1701006212
1701006213
1937年,意大利的蕾西先后证明了“5+7”、“4+9”、“3+15”和“2+366”。
1701006214
1701006215
1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。
1701006216
1701006217
1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。
1701006218
1701006219
1956年,中国的王元证明了“3+4”,稍后证明了“3+3”和“2+3”。
1701006220
1701006221
1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1+c”,其中c是一个很大的自然数。
1701006222
1701006223
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”,中国的王元证明了“1+4”。
1701006224
1701006225
1965年,苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了“1+3”。
1701006226
1701006227
1966年,中国的陈景润证明了“1+2”,即“任一充分大的偶数都可以表示成两个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和”。
1701006228
1701006229
(2)例外集合
1701006230
1701006231
1701006232
在数轴上取定大整数x,再从x往前看,寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数,即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望,无论x多大,x之前只有一个例外偶数,那就是2,即只有2使得猜想是错的。这样一来,哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然,直到现在还不能证明E(x)=1;但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是;如果当x趋于无穷大时,E(x)与x的比值趋于零,那就说明这些例外偶数密度是零,即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
1701006233
1701006234
(3)三素数定理
1701006235
1701006236
如果偶数的哥德巴赫猜想正确,那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表示成三个素数之和,假如又能证明这三个素数中有一个非常小,譬如说第一个素数可以总取3,那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。在1959年,这个思想就促使潘承洞先生研究了一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0,即这个小素变数有界,从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内,这方面的工作一直没有进展,直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了,但是仍然大于0。
1701006237
1701006238
(4)几乎哥德巴赫问题
1701006239
1701006240
1953年,林尼克发表了一篇长达70页的论文。在论文中,他率先研究了几乎哥德巴赫问题,证明了存在一个固定的非负整数k,使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理,看起来好像丑化了哥德巴赫猜想,实际上它是非常深刻的。
1701006241
1701006242
我们注意,能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合;事实上,对任意取定的x,x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。因此,林尼克定理指出,虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想,但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集,每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去,这个表达式就成立。这里的k用来衡量“几乎哥德巴赫问题”向“哥德巴赫猜想”逼近的程度,数值较小的k表示更好的逼近度。显然,如果k等于0,几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现,从而,林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
1701006243
1701006244
林尼克在1953年的论文中并没有具体定出k的可容许数值,此后四十多年间,人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证,这个k应该很大。目前最好的结果k=13是英国数学家希思是布朗(D.R.Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的,这是一个很大的突破。
1701006245
1701006246
数学史上的每一步都走的很艰辛,但是对于整个数学史,乃至整个人类来说,都是一个突破、一个提高。
1701006247
1701006248
1701006249
[
上一页 ]
[ :1.7010062e+09 ]
[
下一页 ]