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图5-4 素描大树
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004210]
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5.1.3 Koch（科赫）曲线
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Koch曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线。它由瑞典数学家Helge von Koch在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出。
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有一种Koch曲线是像雪花一样，被称为Koch雪花（或Koch星），它是由三条Koch曲线围成的等边三角形。
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设想从一个线段开始，根据下列规则构造一个Koch曲线：
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（1）三等分一条线段；
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（2）用一个等边三角形替代第一步划分三等分的中间部分；
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（3）在每一条直线上，重复第二步。
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Koch曲线是以上步骤地无限重复的极限结果。Koch曲线的长度为无穷大，因为以上的变换都是一条线段变四条线段，每一条线段的长度是上一级的1/3，因此操作n步的总长度是：若，则总长度趋于无穷。
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Koch曲线的分形维数是，其维数大于线的维数1，小于Peano填充曲线的维数2。Koch曲线是连续的，但是处处不可导的。Koch雪花的面积是，这里的s是最初三角形的边长，Koch雪花的面积是原三角形面积的8/5，它成为一条无限长的边界围绕着一个有限的面积的几何对象。
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采用计算机进行Koch曲线模拟如下：
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%Koch（科赫）曲线 clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 Koch(0，0，120，0，10); %生成Koch雪花图形
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Koch曲线函数程序如下：
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function f=Koch(ax，ay，bx，by，c) if (bx-ax)^2+(by-ay)^2＜c %判断两点之间的距离 x=[ax，bx];y=[ay，by]; %合并两个点的横、纵坐标 plot(x，y);hold on; %画图 else cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; %三等分 ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3; l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2); alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)); %角度 if (alpha＞=0&(ex-cx)＜0)|(alpha＜=0&(ex-cx)＜0) alpha=alpha+pi; end dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l; dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l; Koch(ax，ay，cx，cy，c); %重复该函数 Koch(ex，ey，bx，by，c); Koch(cx，cy，dx，dy，c); Koch(dx，dy，ex，ey，c); end end
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运行程序输出图形如图5-5所示。
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图5-5 Koch曲线图
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如图5-1~图5-5所示可知，分形曲线具有局部和整体完美对称的结构，从局部能够反应整体信息，从整体能够反应局部的信息，如果一个物体或者一个特征满足分形理论，则可以进行局部特征提取，避免计算的冗余，提高系统执行效率。
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大自然时刻揭示着万物的规律，分形自然学带给人们对美的追求，更揭示着天人合一的思想。老子说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和”。这里的“一”指自然，“万物”包括人。
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