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如图6-5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v1的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。
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图6-5 速度设置
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因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004225]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.6 如何渡河使得船舶向下漂移的距离最短
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【问题】一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，若，怎样渡河使得船漂下的距离最短？
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【分析】
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如图6-6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v合与河岸成α角。
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图6-6 运动合成示意图
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可以看出：α角越大，船漂下的距离BE越短。
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那么，在什么条件下α角最大呢？即向下漂移的距离BE最短，以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据。
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船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：
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此时渡河的最短位移：。
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假定船头方向一直是正对着河对岸的B，则小船渡河问题的MATLAB运动模拟如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 a=pi/2:-0.01*pi:0; d=100; k=2; %k=2画图 r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); polar(a,r,’-o’) %极坐标图 hold on k=1; %k=1画图 r= d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); polar(a,r,’.’) %极坐标图 k=5 %k=5画图 r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); polar(a,r,’-^’) %极坐标图 k=0.8; %k=0.8画图 r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); polar(a,r,’-*’) %极坐标图 legend(‘k=2’,‘k=1’,‘k=5’,‘k=0.8’)
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运行程序输出图形如图6-7所示。
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