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首先注意到，当t一定时，应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数，如图6-31所示，图6-32给出的是相应的等值线图。
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图6-31 扑球概率曲线1 图6-32 等值线图1 当t变小时，曲线的峰度应增高，而面积减小，如图6-33和图6-34所示。
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图6-33 扑球概率曲线2 图6-34 等值线图2 由图6-31和图6-33可以看出，该曲面的形式与二维正态分布的密度函数很相似，因此，我们采用该函数形式描述这种变化趋势。参数t表示从起脚射出到球到达球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上所述我们得到守门员扑球成功的概率：
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其中，α—球员在球场上某点射门的水平方向上的角度；β—球员在球场上某点射门的竖直方向上的角度；k1—衡量守门员水平方向控制角度的能力的系数；k2—衡量守门员垂直方向控制角度的能力的系数；t—守门员的反应时间。
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其中，e为守门员的反应系数，据专家预测，一般正常人的反应速度约为0.12～0.15s。根据著名的“纸条试验”可得到一般人反应时间约为（即设想将一张纸条放在人的两手指之间。当纸条在重力的作用下自由下落时。由，可以计算出人的反应时间）。因此，我们在此不妨取（实验值）。
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k1表示衡量守门员水平方向控制角度的能力的系数，k2表示衡量守门员垂直方向控制角度的能力的系数。我们根据大量的数据统计得到k1、k2的值，这里我们取k1＝20，k2＝10。
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则球员在球场上每一点射入球门的概率为：
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其中，f—球员在球场上某点射门命中球门的概率；q（t，α，β）表示守门员扑到球的概率，1-q（t，α，β）就表示扑不到球的概率。
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求解得到球场上任意点对球门的威胁度，如表6-11所示。
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表6-11 有守门员时命中球门的概率表（部分数据）
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根据各点威胁度的值也可以作出球场上等威胁度的曲线，具体的MATLAB程序如下：
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%绘制足球守门员概率仿真 clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %竖直方向的威胁度（垂直角度） y=zeros(71,51); for i=0:70 for j=0:50 if ( j == 0 & i >= 32 & i <=38 ) y(i+1,j+1)=90; elseif ( j == 0 & (i < 32 | i > 38 )) y(i+1,j+1)=0; else y(i+1,j+1)=(atan(2.44/sqrt((i-35)^2+j^2))/(2*pi))*360; end end end y; %水平方向的威胁度（水平角度） x=zeros(71,51); for i=0:70 for j=0:50 if ( j == 0 & i >= 32 & i <=38 ) x(i+1,j+1)=180; elseif ( j == 0 & (i < 32 | i > 38 )) x(i+1,j+1)=0; else x(i+1,j+1)=((atan((i-35+3.66)/j)-atan((i-35-3.66)/j))/(2*pi))*360; end end end x; %守门员扑到球的概率 p=zeros(71,51); for i=1:71 for j=1:51 x(i,j)=x(i,j)^2/1600; y(i,j)=y(i,j)^2/400; if (sqrt((i-1-35)^2+(j-1)^2)/10-1/7>0) p(i,j)=exp(-(x(i,j)+y(i,j))/(sqrt((i-1-35)^2+(j-1)^2)/10-1/7)); else p(i,j)=0; end end end; p; %有守门员情况下球员进球概率,即守门员扑不到球的概率 q=zeros(71,51); for i=1:71 for j=1:51 f(i,j)=x(i,j)*y(i,j); q(i,j)=f(i,j)*(1-p(i,j)); end end q; %% figure(‘color’,[1,1,1]) %图像背景为白色 surf(x,y) %曲面 view([25.5 34]); %视图 title(‘威胁度’) %守门员扑到球的概率 figure(‘color’,[1,1,1]) %图像背景为白色 contour(p) %等高线图 view([90 90]); %视图 title(‘守门员扑到球的概率’) %有守门员情况下球员进球概率,即守门员扑不到球的概率 figure(‘color’,[1,1,1]) %图像背景为白色 contour(q) %等高线图 title(‘守门员扑不到球的概率’) axis([1,20,20,50]) %坐标轴设置 view([90 90]); %视图 %axis tight
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运行程序输出图形如图6-35～图6-37所示。
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图6-35 守门员扑不到球的概率 图6-36 守门员扑到球的概率 图6-37 水平和垂直方向的威胁度曲面图 如图6-35和图6-36可知，球员扑到球的概率是比较大的，并且球越靠近球门，对方球员在中心射门被扑到的概率小于在旁侧边射门被扑到的概率。也就是说，如果对方球员想射进球，应该越靠近球门射门，并且在正对着球门的方向射门，这样射中的概率将更大，这个趋势也满足图6-37所示的三维曲面图，越到中心点处，危险程度越大。
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生活中处处有数学，将数学模型合理的应用于生活，将达到事半功倍的效果。
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