1701009650
1701009651
1701009652
1701009653
图8-7 等高线和曲面的负梯度图
1701009654
1701009655
从图8-7中可清晰的知道，每一个起点位置到山顶峰点之间的最快梯度路径，同样，对于该函数很容易求出一条最优路径，选取起点为（0.9,1.2,-9.63），终点为（0,0,0），编程如下：
1701009656
1701009657
clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %盲人下山 [X1,Y1]= meshgrid(-2:0.1:4,-2:0.1:4); %数据平面栅格化 x1 = X1; x2 = Y1; Z1 = 8*x1.^2+9*x2.^2-8.*x1.*x2-12*x1-6*x2; %函数 figure(‘color’,[1,1,1]) %设置图形背景为白色 mesh(X1,Y1,Z1) %3D曲面绘制 %%NxM 矩阵化为一行 nX1 = size(X1); kk=1; for i=1:nX1(1,1) for j=1:nX1(1,2) X2(1,kk) = X1(i,j); %将矩阵化成一列 Y2(1,kk) = Y1(i,j); Z2(1,kk) = Z1(i,j); kk=kk+1; end end %%距离 for i=1:length(X2) for j=1:length(X2) Distance(i,j)=sqrt( (X2(i)-X2(j))^2 + (Y2(i)-Y2(j))^2 + (Z2(i)- Z2(j))^2 ); Distance(j,i)=Distance(i,j); end end %%邻接矩阵 A=zeros(length(X2),length(X2)); %构建邻接矩阵 %第一行数据 for i = 1:nX1(1,2)-1 A(i,i+1)=1; A(i,nX1(1,2)+i)=1; A(i,nX1(1,2)+i+1)=1; end for i=2:nX1(1,1)-1 %第二行到倒数第二行 for j=2:nX1(1,2)-1 %倒数第二列 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i-2)*nX1(1,2)+j ) = 1; %该点正上方点 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i-2)*nX1(1,2)+j-1 ) = 1; %该点正上方点，向左移一位 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i-2)*nX1(1,2)+j+1 ) = 1; %该点正上方点，向右移一位 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i-1)*nX1(1,2)+j-1 ) = 1; %该点行上，向左移一位 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i-1)*nX1(1,2)+j+1 ) = 1; %该点行上，向右移一位 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i)*nX1(1,2)+j ) = 1; %该点正下方点 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i)*nX1(1,2)+j-1 ) = 1; %该点正下方点，向左移一位 A( (i-1)*nX1(1,2)+j, (i)*nX1(1,2)+j+1 ) = 1; %该点正下方点，向右移一位 end end for i=1:length(X2) for j=1:length(X2) A(j,i)=A(i,j); end end %%求最短路径 %起点（0.9,1.2,-9.63），终点（0,0,0） %画图 figure(‘color’,[1,1,1]) mesh(X1,Y1,Z1) hold on plot3(0.9,1.2,-9.63,‘r.’,‘Markersize’,40) plot3(0,0,0,‘g.’,‘Markersize’,40) hold off %% %起点在30行33列，终点在21行21列 D=Distance.*A; %相连节点计算距离 D(find(D==0))=99999; %两点无边相连时赋值为inf [Q_path, dmin] = dijkstra( 29*nX1(1,2)+33,20*nX1(1,2)+21 ,D); disp([‘最短路径为：’, num2str(dmin)]) %% figure(‘color’,[1,1,1]) mesh(X1,Y1,Z1) xlabel(‘X’);ylabel(‘Y’);zlabel(‘Z’) hold on plot3(0.9,1.2,-9.63,‘b.’,‘Markersize’,40) plot3(0,0,0,‘b.’,‘Markersize’,40) for i=1:length(Q_path) row = ( Q_path(i) - mod(Q_path(i), nX1(1,2)) )/nX1(1,2); column = mod(Q_path(i),nX1(1,2)); X3(i) = X1(column,row); Y3(i) = Y1(column,row); Z3(i) = Z1(column,row); plot3(X3(i),Y3(i),Z3(i),‘r.’,‘Markersize’,40,‘linewidth’,3); end %% figure(‘color’,[1,1,1]) mesh(X1,Y1,Z1) xlabel(‘X’);ylabel(‘Y’);zlabel(‘Z’) hold on plot3(0.9,1.2,-9.63,‘r.’,‘Markersize’,40) plot3(0,0,0,‘g.’,‘Markersize’,40) plot3(X3,Y3,Z3,‘b-‘,‘Markersize’,40,‘linewidth’,3); set(gca,‘Xdir’,‘reverse’); set(gca,‘Ydir’,‘reverse’);
1701009658
1701009659
运行程序输出结果如下：
1701009660
1701009661
最短路径为：9.8305
1701009662
1701009663
输出图形如图8-8所示。
1701009664
1701009665
1701009666
1701009667
1701009668
图8-8 函数下降梯度最快路径
1701009669
1701009670
对比图8-4和图8-8可知，图8-4在一头雾水的情况下，胡乱的随机走到下脚处x0，而采用计算机精确计算，其最优路线如图8-8所示，这个结果，完全是可以接受的。
1701009671
1701009672
计算机计算结果是能指导盲人下山的，大家可以根据该计算结果，不断地通过指南针定位经纬度，从而实现快速的下山。
1701009673
1701009674
1701009675
1701009676
1701009677
我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004257]
1701009678
我和数学有约：趣味数学及算法解析 8.3 Galton钉板实验
1701009679
1701009680
Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的，具体的工况如图8-9所示。
1701009681
1701009682
1701009683
1701009684
1701009685
图8-9 Galton钉板试验工况
1701009686
1701009687
为了较清晰地研究该问题，如图8-10示，在一板上钉有n=5排钉子，图8-10中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个格子，编号分别为0，1，2，…，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。
1701009688
1701009689
1701009690
1701009691
1701009692
图8-10 模拟Galton钉板试验
1701009693
1701009694
【问题】向Galton钉板扔进一个小球，显然不能预测小球会落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢？
1701009695
1701009696
【分析】
1701009697
1701009698
（1）采用计算机模拟Galton钉板试验，具体实现过程如下。
1701009699