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无论我如何表示剩下的这两头山羊，不经意间，我毫不费力地完成了一种全新的数学运算。在我作弊之后，我的符木显示出山羊的总数是手—戈（实际上，我可能会把这两个字连起来，表示“7”这个数）。邻居还给我一只手的山羊，还欠我戈头山羊。从手—戈头山羊中收回一只手的山羊，还剩下戈头山羊。也就是说，手—戈减去手等于戈。这难道不是一道算术题吗？
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因此，如果我不诚信，我就可以借助符木和我新发明的骗术进行骗人的勾当。幸好，聪明的邻居发现，我的符木仅仅通过刻痕表示山羊的数量，而这些刻痕改起来非常方便，因此他有被骗的危险。于是，他拿出了一套具体的象征物，每枚象征物代表一头山羊。这些象征物是他自己制作的实物，易于辨认，而且我难以复制。在他归还山羊时，我收到一头山羊，就还给他一枚象征物。归还了一只手的山羊之后，这些象征物就全部回到了邻居手中，因此我无法欺骗他。但是，新的问题又出现了。由于邻居经常来借山羊，我有点儿不高兴了。因此，我们达成了一个新协议。在邻居再次借山羊时，作为补偿，我可以留下一枚象征物。将来，我可以利用这枚象征物从邻居那里换取某些物品，例如一袋面粉。
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由于彼此之间的不信任，再加上非常简单的算术运算，钱在不知不觉之中便诞生了，并且为有偿服务的产生奠定了基础。由此可见，数字的功能强大到令人瞠目结舌的程度。但我们还是从金钱回到纯算术这个话题，继续考虑“手”的含义。刚开始的时候，我可能只会用这个概念来表示羊群的大小，但是，我很快就会发现它的通用性，也就是说，它还可以方便地表示苹果、人、鱼叉等事物的数量。作为一个数字，手可以用于很多方面，它可以告诉我们某种事物到底有多少，无论这种事物是什么。
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到目前为止，这就是手的全部功能，而且这些功能已经足够满足我们计数的需要了。坦白地说，这种状况将维持相当长的时间。在清点存货、借钱、购物和销售等活动中，手可以发挥不可思议的显著作用。在准备晚餐时，手可以告诉我们有多少人将与我们共进晚餐。手还可以告诉我们，多少天之后，白天会慢慢变长。正因为如此，当简单的符木演变成书面数字之后，古巴比伦人发明了非常先进的六十进制，这是最早出现的计数系统之一。
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“六十进制”是指在60这个位置，所有的数字都要进位到下一级。我们现在使用的十进制数字系统，很有可能源于双手一共有10根手指这个事实。（从技术上看，本章讨论的手数字系统是五进制。）古巴比伦人的这套数字系统是楔形文字，是用尖笔在陶片上刻画出来的。值得注意的是，这是一个出现时间非常早的位置计数系统（某个数字在一排数字中的位置不同，它所表示的值也不同，例如，“1”表示的可能是“1”，也可能是“60”或者“3 600”），直到2 000多年后，位置计数系统才成为一种常见现象。
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五进制、十进制和二十进制都比较好理解（考虑二十进制时，我们可以加上脚趾），但是六十进制乍一看似乎比较奇怪。其实，60这个数字使用起来十分灵活，它可以被1、2、3、4、5、6、10、12、15、20和30整除，因此在除法运算中非常方便。大家不要彻底否定六十进制。别忘了，我们在将秒换算成分钟、将分钟换算成小时以及表示角度时，仍然在使用它。古巴比伦人将楔形文字书写在陶片上，因而留下了大量数字，其中有很多是用来记账和管理交易的，但是还有一些数字则是古巴比伦人研究天空时留下来的。我们知道，古巴比伦人对天空进行了深入细致的研究，主要是由于占星术的发展。
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我们回过头来接着讨论史前农民这个思想实验。我们创造的数字都是用来代表实物的，如果不用来表示一个真实的物体，这些数字就毫无意义。它们更像形容词，而不是名词。我不能给你手—戈，我只能给你手—戈头山羊或者手—戈只篮子。我也没有办法让你看到手—戈。也许你认为，我可以用合适的符号把手—戈这个数字表现出来。但是，就像山羊的画像不是山羊一样，表示手—戈的符号也不是手—戈这个数字。时至今日，相当多的人都把数字理解为形容词，其中有很多都是那些上学时看到数学就头疼不已的人。这是因为，直接表示具体物体只是数字最基本的功能。
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很多早期数字系统使用起来非常不方便，远远落后于古巴比伦人的发明，原因就在于他们在数字与实物之间建立了这种联系。例如，古希腊人用标准字母表示数字，但是，他们必须重新启用一些早已废弃的字母（例如与大写的“F”非常相似的第6个古希腊字母）才够用。这种系统要求在使用时必须根据上下文区分字母与数字，因此会造成混淆，但这个事实说明，写作与记账这两种活动在人类社会早期是严格分开的。这个结论似乎是在研究腓尼基人时得出的，在研究希伯来人早期的数字表示方法时得到了证实。
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我们大多数人更为熟悉的罗马数字不仅使用了简单易懂的符木标记，还使用了与希腊数字相似的字母系统。实际上，罗马数字与我们在前文中想象的手进制数字系统有一个明显的相似之处，我们可以把罗马数字中的I和V分别视为表示手指和手的符木标记。希腊数字用不同的字母表示10和100的倍数，而罗马数字则直接采用字母重复出现的办法，同时，他们还通过有趣的位置变化，表示某种特殊意义。在罗马数字中，所有字母都是按照数值由大到小的次序排列的，因此，如果一个比较小的数字出现在比较大的数字之前，就表明这个小的数字应该被减掉，因为它仅仅起修正作用。
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例如，大家想一想钟面上的罗马数字。在“4”这个位置上的数字是什么样子？熟悉罗马数字的人都知道，对应的数字是“IV”，其中“V”表示5，而“I”则表示“减去1”，因此整个数字表示4。经常有人错以为罗马数字中的4是IIII这种更为简单的表现形式，历史上也确实有过这个奇怪的习惯，在表盘和钟面上用IIII表示4（尽管9仍然被表示成IX）。但是，看到罗马数字时，我们的理解通常都是正确的。
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在我们看来，古罗马人和古希腊人使用的这两套系统极不方便。与古巴比伦人相比，他们确实落后了。的确，人类大脑在处理六十进制的数字时有些麻烦，这个事实也反映了人类短时记忆的特点——人脑一次只能处理七八条信息。正因如此，人们习惯在电话号码（通常超过7位数）中间插入空格。相较于六十进制，五进制和十进制都更容易处理。但是，出现时间更早的六十进制在很多方面具有后来者无法比拟的优势。
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当然，罗马数字几乎不占据任何优势，因为它们实在太笨重了。大家可以比较罗马数字中的年份，如1999年对应的罗马数字是MCMXCIX。（罗马数字偶尔也会占上风，例如2000年的表示方式较为简洁——MM。）大家也许会感到奇怪，我们为什么偶尔还会使用罗马数字呢？我认为，这可能是因为截至20世纪，人们一直对古典文化存有莫名其妙的敬畏之心。一些多年来一直被视为丑陋不堪的古典建筑风格重新流行起来，原因也在于此。与阿拉伯（印度）数字相比，罗马数字的唯一优势就是曲线比较少，刻在石头上比较容易。
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更令人意想不到的是，罗马数字还有一个非常严重的问题：它们会大大增加算术基本运算的难度。比如，若计算XXIII和XLV的和，使用罗马数字你将无法找出一条简单法则（数学界青睐的就是简单法则）。但我们可以很容易地教会孩子们如何求23与45的和，这是因为我们使用的是一个位置计数系统，从数字所在的列就可以看出它是10的多少次幂。根据这个特点，人们总结出了算术的运算法则（参阅第6章）。罗马人在科学上几乎毫无建树，与他们使用不方便的罗马数字之间可能脱不了干系。
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就像邻居借羊时使用的最原始的符木一样，古时的希腊数字和罗马数字都不是数学工具，人们也不会像后世的数学家那样，利用这些数字从事数学研究。尽管古希腊人有研究数学和科学的传统（我们很快就会讨论这个问题），但是他们对数字的理解不同于现代人。我们暂且不讨论这个问题，而是继续我们的思想实验，看看史前的那位山羊主人可以利用符木系统完成哪些基本活动。
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你也许认为负数对于这些早期算术师而言还是一个非常遥远的事物。按照现代人的理解，事实确实如此。你不可能有–2头山羊，我也拿不出–2个物品，无论这个物品是什么。因此，–2不可能直接表示现实世界中的任何对象。然而，在记账时，–2却是一个重要的概念，即使这个概念在刚开始的时候没有表示成负数的形式。作为一名史前农民，我把一只手的山羊借给邻居，那么在邻居归还之前，我的羊群就少了一只手的山羊。尽管我记录的是缺少一只标准手（正值）的山羊，但是实际上，符木上的刻痕或者弯曲的手指都表示山羊的数量是负数。邻居归还山羊时，每归还一头（正值）山羊，我就会填平符木上的一条刻痕，直到5条刻痕都被填平。第一次使用符木时，我们在不使用数字的条件下学会了计数，而现在，在没有意识到负数这个概念的条件下，我们学会了利用符木进行负数的运算。
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即使山羊被借走了，它们依然是整个事件的核心。无论是负值还是正值的手，表示的都是位于现实世界某个地方的一群实实在在的对象。但是，数学家若要自由翱翔，就必须切断与世俗之间的联系。
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不同的文明意识到这个问题的时间有先有后，但是在西方传统中，古希腊人是第一个觉醒的。由于希腊人没有采用世人一致认可的科研方法，而且犯了很多错误，所以现在很多人在提到希腊的科学水平时都多少有点儿蔑视之意。希腊人在数学界的影响力也十分有限。但是，即使他们毫无建树，我们也应该感谢这个民族，因为是古希腊人促使数学取得了有史以来最重要的一个进步。他们清楚无误地宣告，数字不一定非得与现实世界中的具体对象相对应。某个古希腊教派深信，整数突破了物品数量统计的羁绊，具有一种全新的意义。
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数学世界的探奇之旅 第3章 毕达哥拉斯：万物皆是数字
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传说中，毕达哥拉斯学派将一条座右铭刻在门楣上：万物皆是数字。毫无疑问，我们大多数人对毕达哥拉斯学派都非常陌生。关于这个古希腊学派，我们唯一确定的可能就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边边长的平方等于其他两边边长的平方和。其实，这条定理的基本概念早在毕达哥拉斯之前就已被人提出来了，但是，定理的证明可能要归功于毕达哥拉斯或者他的门徒。
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几何学（我将在第5章深入讨论）似乎是人类继整数计数之后最早探讨的一个数学领域。我们不清楚几何学起源的确切时间和具体过程。大多数古希腊人认为几何学源自埃及，但其实一些描述简单几何关系（如毕达哥拉斯定理）的相似概念，在巴比伦、美索不达米亚和东方出现的时间更早。古埃及把从事几何研究的人称作“司绳”（rope stretcher），暗示这门学科与从事建筑测量及土地分割的人员有关。几何学之所以成为人类较早研究的学科之一，从这个表达上也许可以略知一二。［现代英语中的“几何学”（geometry）一词源于希腊语中“地球”和“测量”这两个词。］但是，毕达哥拉斯及其门徒研究的并不是这种需要亲力亲为的实用数学。
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毕达哥拉斯出生于公元前570年左右，古希腊的数学研究就是从那个时期开始的。据说，毕达哥拉斯去过埃及。他从埃及人那里汲取了一些想法和概念，后来都被纳入毕达哥拉斯学派的信仰体系，该学派的主要成员被人称作数学家（mathematikoi）。前文的思想实验告诉我们，数字的起源可能与现实世界密切相关。毕达哥拉斯学派的功劳则是将这个概念提升到基本法则的高度，但与此同时，他们也将数学与简单数字区别开，使数学有可能摆脱束缚，无须直接应用于我们周围的物质世界。
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