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他们对分数的理解与我们更加不同。在希腊人眼中，构成分数的两个整数仍然保持着各自的意义，他们把1/2、1/3分别理解成“第二部分”、“第三部分”。我们把1/2理解成一个对象（1）被分割成2个部分，而在古希腊人的眼中，它则是放到一起可以形成1的两个完整对象（2个部分）。就这样，他们彻底回避了1/2带来的抽象化问题。例如，他们不会想到半块蛋糕的近似值问题，因为他们想到的是，两块完整的蛋糕放在一起之后，变成了一块更大的蛋糕。阿喀琉斯与乌龟之间的每一段距离，利用我们现代人使用的算式来表示的话，就是：
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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而用古希腊人的方法来考虑的话，就是一个箱子被一块单位体积的石头占据了一半空间。然后，我们再装进去一块石头。第二块石头是单位体积的1/2，也就是说，两块这样的石头合在一起正好是一块单位体积的石头。第三次装进去的石头是单位体积的1/4，也就是说，4块这样的石头加到一起才等于一块单位体积的石头。以此类推，这些石头越加越多，箱子越装越满，但是永远也装不满。这是毕达哥拉斯学派的整数情结留给我们的遗产。古希腊人对分数的理解与我们不同，在他们的心目中，分数表示用2个、3个或者4个完整物体拼凑成另外一个物体。
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现在，我们知道下面这个级数趋近于2：
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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每加上一项之后，该级数就会更加接近2，但是永远不能达到2。在理论上，如果这个级数包含该序列的整个无限集合，最终的和就会等于2。但是，无论有多少项，和都不会超过2。我们说，随着级数的项数趋近无穷大，和就会趋近2。然而，在现实世界中，没等乌龟跑出2码的距离，阿喀琉斯就已超过乌龟了。也就是说，芝诺悖论被破解了。毫无疑问，古希腊人的级数求和方法非常直观，比我们的现代方法更容易理解，因为我们可以清楚地看出，由于装填的石头越来越小，箱子永远都装不满。但是，仅从下面这个级数
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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你却不容易看出它的和是一个有限数。事实上，下面这个极其简单的级数
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1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …
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就不具有数学家所说的“收敛性”。随着项数趋近无穷大，它的和也将趋于无穷大。
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接下来，我继续讲关于毕达哥拉斯学派的故事。他们正在考虑如何用整数比的形式来表示2的平方根。如果你对分数略有了解，就会知道这个值与707/500相近，但是又不完全相等。严格地说，在古希腊人看来，这个数应该等于707个1/500。但是，古希腊人可能会把它表示成1、1/5、1/5、1/100、1/500、1/500这种形式，尽管这种表达方式更令人困惑。在绞尽脑汁之后，毕达哥拉斯学派借助逻辑分析，证明不可能表示成任何两个整数之比的形式，任何整数都不行。这个新数与他们的世界观格格不入，他们认为整数是宇宙基础的信念摇摇欲坠。
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证明不能表示成整数之比，似乎并不是一件容易的事。乍看之下，古希腊人似乎必须逐个检查所有分数，以确保任何分数的值都不等于。这显然是一件不可能完成的任务，因为分数有无穷多个。但对于酷爱逻辑的古希腊人而言，这不是难事，他们利用自己对奇数和偶数特性的粗浅认识，再加上一点儿逻辑推理，就完成了这项任务。他们采用的是一种常用的经典证明法：首先假设某个命题是真实的，然后根据这个假设得出一个不可能成立的结论，从而证明这个命题是假的。下面是具体的证明过程。
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假设某个整数之比（借用古希腊人的习惯，我们设这个整数之比为α/β）可以表示该对角线的长度，也就是说，α、β为整数，且α/β=。为简单起见，我们假设α和β是可以得出这个比值的最小整数，也就是说，这两个整数可以构成2/3这种形式的比，而不是4/6或200/300这种形式的比。
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为了避免棘手的除法运算，我们采用了一种老办法：等式两边同时乘以β。由此得到：
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α=β×
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接下来，左右两边进行平方运算，以消去平方根：
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α2=β2×2
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到目前为止，我们使用的都是中学学过的简单数学知识（古希腊人的做法略有不同，但结果是一样的）。古希腊人知道，任何数乘以2，积都是偶数。因此，上述等式的右边是一个偶数，这就意味着α2也是一个偶数。由此可知，α是偶数，因为奇数的平方肯定是奇数。
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所有的偶数都可以被2整除，因此α2可以被4整除。这就说明β2×2也可以被4整除，从而证明β2可以被2整除，也就是说，β2是偶数。既然β2是偶数，那么β也一定是偶数，也就是说，它可以被2整除。
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我们的目的就要达到了。从上述证明可知，α和β都可以被2整除，因此它们就不可能像最初假设的那样，是比值等于的最小整数。也就是说，我们经过证明发现，最小的两个整数并不是最小，从而说明原命题在逻辑上不成立。因此，我们可以确定比值等于的整数是不存在的。
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对于现代人而言，根本不是什么问题，我们可以若无其事地使用这个数，也可以把这条对角线的长度表示成小数形式，还可以根据需要保留小数的位数，例如，1.414 213 562…。但是，对于有整数情结的毕达哥拉斯学派而言，他们没有任何选择。现在，我们把这样的数称作无理数，原因是它不能表示成整数之比的形式。而对毕达哥拉斯学派而言，这些数似乎真的对理性基础构成了威胁，至少在他们将数字与几何图形联系到一起时，会让他们遭遇麻烦。据说，可怜的希帕索斯因为泄露无理数的秘密而惨遭报复，被扔到水里淹死了。实际上，当时的几何学研究完全不同于数字研究。在毕达哥拉斯学派的心目中，两者之间的区别非常大，几何图形似乎与数字毫不相干。他们认为，几何学是一种直观概念，而不是一个数字概念。