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数学世界的探奇之旅 [:1701011748]
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数学世界的探奇之旅 第6章 斐波那奇：阿拉伯数字的登场
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让古希腊人和古罗马人烦恼不已的一个最重要的原因是，他们的算术中缺少了一个非常重要的元素——0，以至于他们没有办法表示“无”这个概念。从某种意义上看，即使是那些在兽骨或陶片上记账的早期“会计师”，也已经有了“无”这个概念。他们用没有任何刻痕、光溜溜的陶片来表示某种东西不存在。也许我没有办法把“没有山羊”这个概念直接表现出来，但是我可以展示看不到一头山羊的空荡荡的牧场；我也可以拿出一只空盒子，告诉你里面没有橙子。当我们有了“无”这个概念之后，在不知不觉间，我们就不再只用一个数字专门表示数量与实物之间的对应关系，而是用到了容器。
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然而，从表示没有某种实物的“无”，到在数学中十分活跃的0，这是概念上的一大进步。如果没有0，数学家就不可能将数字真正纳入自己的掌控之中。此外，这个神奇的数字还可以方便地充当占位符的角色，增强书面数字的条理性，使人类有可能完成之前根本不可能完成的复杂的计算。
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“0”看上去无足轻重，貌不惊人，但是它的出现推动了数学的发展。在相当长的时间里，人们都认为0是一个特殊的数字，很多数学家甚至认为0根本就不是数字。其中的原因不难理解。在进行一些基本的算术运算时，0往往会导致意外的错误。数学家都不喜欢特例（在这个方面，科学家与数学家的态度是一致的），而0却是最爱出风头的特例。任何数加上0或者减去0，都不会发生任何变化——0是拥有这个特点的唯一整数。任何数乘以0，结果都是0。0就是粉碎机，可以粉碎所有数字。
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如果用0做除数，就会得到算术上无法处理的可怕结果——无穷大。我们可以这样想，10除以1，结果是10。那么，10除以1/2呢？在学习分数时，老师告诉我们，除以1/2相当于乘以2，所以10除以1/2的结果是20。（我们也可以这样想：把10块蛋糕分别一分为二，就会得到20块小蛋糕。）同理，10除以1/4，结果是40。随着除数越来越小，结果就会越来越大。当分数的分母趋近0时，分数的值就会趋于无穷大。
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然而，这还不是0带来的最大的麻烦。有没有想过0除以0会有什么样的结果？苹果手机的语音控制功能Siri给出的回答令人印象深刻：
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无法确定。设想你有0块饼干，平均分给0个朋友，每人可以分到多少块饼干呢？看到没有，这个问题没有任何意义。甜饼怪兽很伤心，因为你没有饼干；你也会感到伤心，因为你没有朋友。
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分子为0的所有分数都等于0，而分母为0的分数则趋于无穷大。分子与分母同时为0的分数既可以同时归属这两大阵营，也可能被双方同时拒之门外。当印度人第一次使用0这个数字时，数学界就0除以0这个问题的答案展开了大讨论。在一段时期里，这两个看上去似乎都有道理的结果得到了很多人的认可。公元7世纪，婆罗摩笈多[1]认为0除以0应该等于0；公元12世纪，婆什迦罗[2]宣布，0除以0的结果是无穷大。
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后来，数学界（也像Siri一样）都赞成0除以0的结果无法确定的说法，认为0除以0没有确定的答案。在数学上，0除以0这个问题并不是一定要得出一个有意义的结果。随着历史的变迁，我们越来越清楚地看到，大多数的数学知识并不是以现实为基础的。在这种情况下，数学家可以随意制定规则。0除以0就符合这个条件。
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正是由于0的这些奇异特性，在刚开始的时候，数学界常常认为0不是整数。（后来，数学界决定不把数字1视为素数，也是出于同样的原因。）但是，当数轴这个非常重要的概念出现之后，把0排除在整数之外就会导致一个问题。在过去30年里受过教育的人都会在学校里学到数轴这个概念。如果有人没有学过，我在这里介绍一个非常方便的理解方法。大家可以想象一把两端无限延伸的直尺，上面的每个主要刻度都代表一个整数。沿着直尺向前（朝右），数值越来越大；沿着直尺向后（朝左），数值不断减小。
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数轴上既有正数，也有负数。问题是，当数值小于1且朝着负值的方向移动时，会出现什么情况？公元纪年法是人类实践活动中最早出现的数轴之一，它在这个问题上就犯了错误。525年，僧侣狄奥尼修斯·伊希格斯发明了这套公元纪年系统。8世纪30年代，历史学家比德对其进行了推广。到9世纪，这种纪年方法已经得到了基督教国家的普遍认可。在这种纪年系统中，公元元年（AD 1）之前是公元前1年（1 BC），竟然没有公元0年。这种情况直到今天也没有更正过来。
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时间线在–1（1 BC）之后就迅速跳到了+1（AD 1），中间没有任何数。AD表示“Anno Domini”，意思是“主的年份”，AD 1指的是耶稣诞生之年（尽管这个说法存在争议）。因为数轴上存在这个缺口，一些立志成为历史学家的人在计算生卒年跨公元前和公元后年份的人物的年龄时往往会出错。
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历史学家不同于数学家，这种从–1直接跳到1的纪年方法得到了他们的认可。但是，如果同样的情况出现在数轴上，人们就无法接受了，因为数轴是一个非常重要的数学工具，在数轴上前进或后退的行为应当与加法或减法运算相一致。例如，我们可以利用数轴来计算5 + 2的得数：从5开始，朝前（正方向）移动两个单位，就会得到答案7。但是，如果数轴上没有数字0，在计算1–1时就无法得出正确答案0，因为从1开始朝后（负方向）移动一个单位，就会到达–1的位置。无论我们是否愿意，若想让算术基本运算可行，整数中就必须包含0。
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如果0的作用仅仅是为数轴填补空缺，表示“无”的概念（位于整数–1和1之间，表示两者之间的那个整数），那么虽然这足以让它成为一个非常重要的数字，但还不足以促使数学领域发生翻天覆地的变化。0的重要作用还体现在它的另一个身份——数字中的占位符上。我们已经知道（参见第2章），罗马数字和更早的希腊数字在数位排列上缺少辅助系统，随着数字增大，它们会变成庞大到难以处理的字符串，从而大大增强了计算的难度。但是，在实践活动中，这两大古代文明对一种存在了1 000多年的有效方法却一直视而不见。
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这个方法可以追溯至古巴比伦人。古巴比伦人从他们的苏美尔祖先那里获得了灵感，开始使用六十进制的计数系统。这套系统用竖直的刻痕表示1（这与符木刻痕非常相似），用斜向一侧的符号（称作“钩”）表示10。我们把一天分成24个小时，又把每个小时分成60分钟。与之相似，古巴比伦人从1数到10之后，就开始采用六十进制。他们的祖先用不同的符号表示1和10，但是表示60的符号与表示1的符号相同，只是更大一些。用不同的笔可以刻画出更大的符号，但是很容易混淆，因此，后来的古巴比伦人换了一种方法，借助数字的位置来达到这个目的。
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用罗马数字写一个大数，例如MDCCCLXXVII，就会发现这个表达法浪费了传递大量信息的机会。虽然罗马数字中字母的位置也会发挥作用，例如LX表示60，而XL则表示40，但总的来说，在这套数字系统中，字母位置的作用十分有限，只表示字母的先后次序。但是，字母位置传递信息的潜力是巨大的。例如，“GOD”（上帝）和“DOG”（狗）是由相同的字母构成的，但是由于这些字母的排列位置有所不同，因此两个单词的意思也完全不同。数位携带了更多的信息，难道不能更广泛地对其加以应用吗？古巴比伦人正是这样做的。他们将一个数字最右端的数位定义为1，向左的第二个数位表示60，第三个数位表示60×60，以此类推。
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也就是说，如果用Y表示古巴比伦人的“1”，用D表示古巴比伦人的“10”，那么YY DY这个数字等于2×60 + 10 + 1，也就是131。由于数字位置表达了更多的信息，因此在表示大数时要简洁得多。不仅如此，采用这个办法之后，我们还可以将类似的数字上下对齐，排成列，从而大大降低加法、减法和乘法等运算的难度。例如，在求YY DY与Y Y的和时，我们可以按照数位对齐，写出下面这道算术题：
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YY DY
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Y Y
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我们立刻就可以看出，答案是YYY DYY。我们甚至没有意识到，这是一道可怕的六十进制算术题。当然，就像我们现在的数字系统一样，列与列之间的进位还需要遵循进位法则。尽管如此，这也比古希腊人和古罗马人使用的数字系统高效得多。古巴比伦人甚至可以处理无理数问题，例如，令毕达哥拉斯学派挠头的2的平方根。同样令人震惊的是，他们的数字系统中也有小数（因为他们使用的是六十进制，所以这些小数其实是六十进制小数），古巴比伦人留下的陶片还给出了2的平方根的近似值：1.414 222。很难理解，古希腊人竟然没有学习古巴比伦人的这些方法，反而后退了一大步，个中原因已经湮没在历史的长河中了。
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然而，古巴比伦人的那套数字系统也有一个问题。上面那道题中的第二个数是Y Y，即61。如果这个数是3 601，该怎么表示呢？60×60的列是Y，60的列中什么也没有，而表示1的那个列中有Y，因此3 601被表示成Y Y。严格地讲，两个Y之间的空格应该稍大一些，但是很难清楚地区分这两个数，在手写陶片时就更难以分辨了。从现存的古巴比伦人陶片来看，这些数字的排列方式极具随意性。当然，在第2章讨论的邻居借山羊的问题中，数清那些山羊并不是难事，因为我不大可能借给邻居3 601头山羊。所以，根据当时的情境，我们可以看出那些数字到底表示什么意思。但是，如果在交易物品时使用的是比较小的单位，或者涉及钱财时，这些数字就难以区分了。
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在古巴比伦文明走向衰落、古希腊文明即将兴起的时候，人们找到了一个解决办法。如果某一列中没有数字，他们就在那里画一道斜线，表示这是一个空列。因此，61仍然是Y Y，而3 601则被表示成Y \ Y的形式。太棒了！按列计算的方式要安全得多，而且人们不需要根据情境来分析数字表示的含义。但是，\与现代数学中的0还是有所不同的。因为某种原因，古巴比伦人一直没有承认一个事实：由于数字后面有可能出现除号，所以，数字中某一列为0时，仍然有可能与其他数字混淆。无论何种原因，\都无法充分发挥占位符的作用。这个符号从来没有独自出现过，也没有出现在计算过程中，因此，它没有发挥整数0的作用，而仅仅是0的幻影，只是有时起到占位符的作用。只有身兼二职，这个符号才有可能真正地发挥作用。
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