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尽管培根水平有限，但是他敢于在那个时代强调数学的重要性，毋庸置疑是非常了不起的。17世纪末，与艾萨克·牛顿同时代的英国数学家约翰·沃利斯给牛顿在数学领域的冤家对头戈特弗里德·莱布尼茨写了一封信：
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在本世纪，一些人（追随伽利略的步伐）把数学归入自然哲学的范畴，从而大幅度推动了物理学的发展。400年前（甚至更早），罗吉尔·培根（从黑暗的百年历史中脱颖而出的一位伟人）也做过同样的努力。
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在《大著作》一书中，数学整整占据了一章的篇幅，尽管其中还涉及历法改革、占星术等其他内容。对于那些从小就被告知占星术根本不科学的人而言，把占星术纳入其中可能是一个令人扫兴的选择，但是培根毕竟要受到所处时代的影响。培根对占卜算命者所用的占星术嗤之以鼻，认为占星术就是在利用轻信心理骗取普通人的钱财。但他也认为，出生时天体的排列分布有可能影响人们的性格。正因为占星术的这种表现形式（一种先天与后天之争），培根那个时代的人认为占星术有可能发展成一门潜力巨大、地位崇高的科学。
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天体的排列分布几乎不可能对人产生影响，但是培根那个时代的人无从了解这个事实。考虑到当时的科学水平，占星术有可能影响人物性格这个说法（与某些现代企业钟爱的迈尔斯—布里格斯人格类型测验有几分相似），在那些从事这项活动的人看来是有道理的。培根认为，科学在很多方面都要借助数学这个工具，原因是科学可以从数学中获益：
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数学是自然科学的大门和钥匙……对数学一无所知的人，不可能了解其他科学和世间万物……更糟糕的是，对数学一无所知的人不会认识到自己的无知，因此也不会考虑如何做出补救。而且，掌握这门科学之后，我们的大脑会更加聪明，为清楚了解世间万物做好准备。因此，如果大脑理解了这门科学的基础知识，并且利用这些基础知识来探查其他科学以及世间万物，所有问题都将迎刃而解，不会留下任何疑问，也不会造成任何错误。
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对于培根而言，数学不仅是一种工具、一种思维方式，还是逻辑的一种结构化应用。不懂数学的人无法理解，它可以帮助大脑更好地思考并理解自然。接着，培根论证了数学对于我们理解其他科学的重要意义。以光学（培根深入研究了这门科学，不仅提出了一些新颖的理论，还完成了一些实验）为例，要学好这门科学，首先必须正确理解角、几何学和对称等相关内容。
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认为应该将数学纳入教学范围的不止培根一人。（当时的教育已经包括了一些数学内容。由算术、几何学、天文学和音乐等4门学科组成的“四艺”在大学课程设置中占有相当大的比例，这4门课要么直接属于数学，要么核心内容与数学密切相关。）但是，培根看到了数学对于各门科学的重要意义，他将数学从自己的独立王国中解放出来，指出它可以为我们了解自然界提供帮助。这才是培根出类拔萃的地方。
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总的来说，培根的观点在几百年时间里都没有引起人们的注意。然而，数学王国中也曾有几道闪电划过黑暗的天空。其中一道“闪电”来自牛津大学，即“牛津计算师”，也称作默顿学派、默顿数学家。他们人数不多，但都与牛津大学的默顿学院（牛津大学最早成立的学院之一）有关，他们充分认识到了数学（和推动数学发展）的重要性。
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这个学派（托马斯·布拉德沃丁和威廉·赫特斯柏立是其中的代表人物）研究逻辑、几何学和计算方法，但是他们最著名的成果是落体定律，即“平均速度定理”。该定理称，在相同的时间内，如果第一个物体做匀加速运动（例如由高处掉落），第二个物体以第一个物体最终速度的一半做匀速运动，那么在该段时间内两个物体的运动距离相等。有意思的是，布拉德沃丁及其同事的研究之所以具有重要意义，最主要的原因可能在于他们的研究背离了亚里士多德对运动的理解，反而有点儿接近于伽利略和牛顿的观点。重要的是，亚里士多德研究数学的动力来自纯粹的哲学，而在默顿学派的眼中，数学可以帮助我们得出答案这个作用更重要。
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14世纪的法国学者尼古拉·奥雷姆是拓展数学思维的又一个杰出代表。我们现在使用的幂运算就是他的研究成果。两个底数相同的指数幂相乘，直接把指数相加即可，例如，y2×y3=y5。此外，他还探索了分数指数幂（例如x1/2）的可能性，但我们现在使用的幂的概念在当时还没有确定下来，因此他使用的是一种间接的研究方法。与默顿学派的成果相比，他在摆脱现实的抽象化道路上走得更远。默顿学派研究的正方形与立方体都与观察运动物体的特性有关。
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奥雷姆可能是第一个提出用图像表示数学结构的人。这个成果不是很抽象，但是重要性却丝毫不减。今天，我们理所当然地认为图像表示法非常有效，不仅可以帮助我们更直观地了解函数（例如函数y=x2），还可以帮助我们深入研究微分和积分等概念（在介绍微积分时，我们将讨论这两个概念）。奥雷姆至少是推广这个方法的第一人（当时称作“形态的幅度”），他甚至还考虑了将这个方法推广至三维空间的可能性。
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通过强调数学和实验的重要性，培根及其中世纪的追随者们在当时的自然哲学与未来的真正科学之间架起了一座桥梁。对于培根来说，数学是一种工具，可以帮助我们理解世间万物，但是它本身绝不能真正地摆脱与现实的联系。他从未接触过虚数和复数的概念，也许反而是件好事。
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[1]枢机团或称枢机院，是天主教会的最高宗教机构。——译者注
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数学世界的探奇之旅 [:1701011750]
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数学世界的探奇之旅 第8章 高斯：神通广大的虚数
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数学家把负数的平方根称为虚数。乍看上去，这个概念似乎非常奇怪，完全背离了在这之前数字与现实世界建立起来的关系，仿佛是要证明数学与现实世界彻底断绝了联系。然而，随着时间的推移，人们在探索物质世界的过程中却发现虚数的作用异常广泛，而且关注现实的工程技术人员也离不开虚数，在每天的计算中都要用到它。
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说到虚数，首先要从负数说起。数学家发现自然数的这些变体可以构成一个实用的数学概念之后，就对它们的数学特性进行了考量。他们发现，两个负数相乘就会得到正数。其中的道理并非一目了然，但是借助数轴还是很容易看清楚的。减号实际上表示数轴上的方向变化，因此，在正方向上变化两次方向，朝向的仍然是正方向。我们也可以换个方法，认为这是数学家做出的一个主观决定，但他们也是不得已而为之。对不同的决定稍加研究就会发现，这是与数学其他方面保持一致的唯一选择。
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接下来，新的问题出现了。既然我们已经知道正数乘以正数的结果是正数，负数与负数相乘的结果也是正数，那么负数的平方根是什么呢？什么数的平方是负数呢？答案既不可能是正数，也不可能是负数。人们发现，可供选择的答案似乎并不多。
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我们暂且不要急于沿着这个思路继续考虑下去，而是回过头来思考负数与现实的关系。我们从第2章得知，负数在记账的时候是有用的，它可以表示债务。在邻居来借山羊时，我们可以用负数表示与原来相比山羊减少的数量，也就是邻居借走的山羊的数量。但是，在这些例子中，其实仍然用的是正数，只不过形式特别。比如，我没有办法表示我欠你多少钱，我只能告诉你我需要还给你多少钱。那么，我能在现实世界中找出明确表示负数概念的东西吗？事实上，真的可以找到，条件是允许我突破自然数的范围。但是，在19世纪之前，没有人认识到这种可能性。
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大家想一想电池两极上的标志：一个是正号，一个是负号。我们通常认为这种标记方法是本杰明·富兰克林发明的。实际上，刚开始的时候，这两个符号仅为了表示两者的不同，而不代表数学中正数与负数之间的区别。然而，我们现在都知道电子与质子携带的电量相同，电性相反。它们没有方向，本质上是纯粹的数值（数学家和物理学家称之为“标量”），与牛顿第三定律描述的大小相等、方向相反的作用力不一样。但是，它们与正负数一样，也可以相互叠加或者抵消。
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虽然正负电荷的定义具有主观随意性，但是这些电荷都是实实在在的东西，特性与正负数相似。这似乎说明通过现代科学发现也能找到现实世界中的有理数。现在，我们知道质子、中子等粒子是由更小的粒子——夸克构成的，而夸克携带的电量是基本电荷的2/3或–1/3。尽管这些数值都不是近似值，而是一丝不差的精确值，而且看上去都是有理数，但是我们在将质子电量定义为1，将电子电量定义为–1时，我们并不知道这些粒子的电量到底是多少。实际上，夸克的电量是2或者–1，而质子和电子的电量分别是3和–3。
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我们接着讨论负数的平方根。在数学家发现他们无法利用已有的数字表示负数概念时，他们就很随意地做出了一个决定——创造一种新的数字。他们之所以这样做，并不是因为他们需要负数，而是因为他们勇于探索，渴望了解数字世界的未知领域。笛卡儿不无讽刺地为这些数字赋予了一个非常妥帖的名字——“虚数”，这些稀奇古怪的数字也变成了数学家的新宠儿。数学世界仿佛又增加了一个维度，而且这个新维度似乎与物质世界不存在对应关系。刚开始时，虚数不过是数学家的玩具，但是这些玩具的灵活性高得惊人，适用于所有的数学运算法则。
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