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卡尔达诺还证明，计算两枚色子掷出相同点数（例如在双色子游戏中掷出两个6点或者两个1点）的组合概率的方法是将两个分数相乘，也就是1/6×1/6，即1/36。因此，得到某个相同点数的可能性只有1/36。此外，他还发现，这与用两枚色子掷出一个1点和一个6点略有不同。要得到后面的结果，一共有两种方法：第一枚色子得到1点，第二枚色子得到6点，或者第一枚色子得到6点，第二枚色子得到1点。因此，概率是1/36 + 1/36 = 2/36，即1/18。
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卡尔达诺最巧妙的一个发现是计算双色子游戏中任意一枚色子得到6点的概率。也就是说，我掷两枚色子，至少有一枚掷出6点。至于是一个6点还是两个6点，以及哪枚色子得到6点，我都不在乎。我们经常会遇到这种组合概率，而人们的自然反应是使用加法。每枚色子得到6点的概率都是1/6，因此第一反应是把它们加到一起。但这种做法显然是错误的，否则，只需6枚色子就能确保得到一个6点。而玩过色子游戏的人都知道，真实情况并不是这样。
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现在的问题是要想办法表示“任意一枚”的可能结果。卡尔达诺的高明之处在于他发现，这个问题可以先转化为“两枚色子都没有”的问题，再用他发明的方法，即用乘法算出概率。如果一枚色子得到6点的概率是1/6，那么结果不是6点的概率就是5/6。因此，两枚色子都没有掷出6点的概率是5/6×5/6，即25/36。也就是说，两枚色子中有任意一枚掷出6点的可能性是1 – 25/36，即11/36。与用一枚色子掷出6点的概率相比，前者比后者的两倍（12/36）还小。随着色子的数量增加，这个概率将会趋近1（也就是肯定有色子掷出6点），但永远不会等于1。因此，即使同时掷出很多枚色子，也有可能没有一个6点。
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在卡尔达诺之后，人们对他的研究成果进行了完善和发展，其中最著名的是法国数学家布莱瑟·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，两人合作解决了一个众所周知的难题，从而让概率变成一个深受保险业欢迎的工具。他们解决的那个难题叫作“点数分配问题”。两名势均力敌的玩家因为一笔奖金而“激战”，根据规则，点数首先达到某个数字的玩家获胜。但是，如果他们在游戏结束时还没有决出胜负，该怎么分配那笔奖金呢？
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假设每赢一局就得一点，在游戏结束时，一位玩家有12点，另一位玩家有7点。帕斯卡认为，要想合理地分配这笔钱，就需要考虑若游戏可以一直持续下去直至两人决出胜负，每名玩家需要赢多少局才能获胜。假设设定的目标是15点。在这种情况下，第一位玩家只需再赢3局就可以获胜，而第二位玩家还需要再赢8局。帕斯卡根据双方获胜还需要赢得的点数，考察了接下来可能发生的情况，然后用数学语言给出了一个公平分配奖金的方案。他提出的其实是一个叫作“期望值”的概念。所谓期望值，是指根据预期，某个可以产生随机结果的过程在连续重复多次后可能得到的结果。
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下面我举一个非常简单的例子。假设游戏规则要求你连续掷色子10次，然后根据掷出的平均点数获得相应的现金。赌注设为多少时，这个游戏才值得参与呢？常识告诉我们，我们赢到的钱可能是概率的中值。难得的是，这次我们的常识是正确的（在涉及概率时，常识往往并不可靠）。你也许会不假思索地回答3，因为3是6的一半。但是，如果我们把1—6这6个值排成一排，就会发现中间值应该是3和4的平均值，也就是说期望值是3.5。
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我们也可以通过一种更严谨的方式来考虑这个问题。掷出1点的可能性是1/6，掷出2点的可能性是1/6，以此类推，掷出6点的可能性也是1/6。求1×1/6 + 2×1/6 + 3×1/6 + … + 6×1/6的和，得数为21/6，即3.5。既然你有可能赢得的预期奖金是3.5美元，那么赌注低于这个金额都是可以接受的。在任意一局中，你都有可能输钱，但是只要玩的局数足够多（并准备足够多的本金），最终的赢家应该还是你。
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计算交易期望值的概念绝不仅限于赌博，它是各种现代金融系统的基础，其中最典型的例子就是保险公司。它们就像赌博玩家。保险公司通过设定赔率，保证即使自己在某一“局”（他们称之为“保险单”）赔钱，也总体来说一定会赚钱。当然，赌场也是这样。重要的是，这个计算方法可以用于权衡不同的选择方案，并帮助我们做出最有利的决定。
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比如，假设你有两个可能的投资方案。一个投资方案有1/2的可能性赢利1 000美元，有1/2的可能性不赢利；另一个投资方案有1/4的可能性赢利1 900美元，有3/4的可能性不赢利。哪个投资方案更有利呢？我们可以用概率乘以投资结果的方式计算出期望值。如果选择第一个投资方案，期望值就是500美元，而第二个方案的期望值是475美元。因此，第一个投资方案对你更有利，尽管第二个方案有可能赢利更多。如果某个投资方案会产生不止一个可能的结果，就要把发生这些结果的可能性加到一起。
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同其他基于概率的预测方法一样，期望值也没有魔力，无法完成不可能的任务。期望值不会告诉你掷一次色子能赢得什么，但是只要你掷色子的次数足够多，就可以根据期望值预测可能的结果，至少在公平游戏中可以做到这一点。伯努利家族的一位才华横溢的成员指出，在某些情况下，期望值也不可靠。
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在介绍伯努利的发现之前，我们先设想一种十分荒谬的彩票，以此说明期望值这种简单的计算方式有时未必有效。（我之前举的例子都是碰运气的游戏，在这些游戏中我们可以计算出精确的概率。同样的方法也可以应用在商业投资、购买保险等方面，但是此时，我们只能根据具体情况对概率做出估计。）
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这种彩票有两种票面，价格都是10美元，但是第一种票面有9/10的概率赢得11.11美元，而第二种票面有1/100 000的概率赢得100万美元。所以，这两种票面的期望值都是10美元。期望值与票面价格相同，对于彩票而言是非常难得的。在彩票与赌场等赌博游戏中，期望值通常必须低于票面价格，这样经营者才有利可图。但是，这种彩票的经营者非常慷慨。因为这两种票面的期望值相同，所以我们在购买彩票时应该不会过于关注选择哪一种。但是，这两种票面带来的结果似乎大不相同。结果是否诱人，决定因素似乎不是期望值，而是你的个人情况。到底选择哪一种票面，可能要看10美元在你的日常生活中具有什么样的意义。
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为帮助大家更好地理解这一点，我举一个更夸张的例子。我在讲座中谈到我的《色子世界》这本书时，经常会跟观众做一个叫作“最后通牒博弈”的心理游戏。心理学家经常通过这个实验告诉大家，经济学家根本不了解人的心理（心理学家都喜欢揭经济学家的短儿）。通常，这个游戏会设立一笔小奖金（例如1美元），由两名玩家展开博弈。第一名玩家告诉第二名玩家这笔钱的分配方案，第二名玩家可以说“行”或者“不行”。如果第二名玩家说“行”，这笔钱就会按照第一名玩家制订的分配方案进行分配。如果第二名玩家说“不行”，那么他们两个人都不会有任何收获。
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经济学家和逻辑学家都认为，只要第一名玩家不打算独吞这笔钱，第二名玩家就会接受他提出的任何分配方案，因为拒绝接受意味着一分钱也拿不到，这样的决定似乎太不合理了。你可以问任何人一个问题：“如果有人白送你一些钱，你会拒绝吗？”答案通常是：“当然不会！”但是事实上，如果第一名玩家分给第二名玩家的钱低于奖金总额的30%，第二名玩家通常就会拒绝接受。这个数字适用于美国人和欧洲人。不同国家的人对分配方案有不同的要求，但是绝大多数人都对分配比例有一个最低要求。为了惩罚另一位玩家的不公平做法，人们宁愿承受一定的经济损失。但我们也可以利用这个游戏，反过来证明心理学家对人们心理的把握也不是很准确。
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在玩完传统意义的最后通牒博弈游戏后，我请参加讲座的观众在脑海里重玩这个游戏，但这次的奖金不是心理学家提供的，而是一位大富豪，奖金额增加至1 000万美元。（事实上，我在做这个实验时，通常会把奖金设为1 000万英镑，但结果没有什么不同。）现实点儿说，如果第一名玩家分给第二名玩家10万美元，第二名玩家很可能不会拒绝，尽管他只能得到总奖金的1/100，而第一名玩家能得到990万美元。因此，我让观众都站起来，然后按照由多至少的顺序，告诉他们可以从这1 000万美元中分得的金额。我还告诫他们要诚实，一旦觉得我给出的金额低于他们愿意接受的最低值，就坐下来。
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做实验时，我们使用的不是真钱，因为我仍在苦苦寻找愿意资助这项实验的大富豪。我觉得，由于不是真金白银，很多人夸大了他们拒绝接受的金额。但是，通常情况下，在金额高于50 000美元时决定坐下来的人不是太多；在金额降到10 000美元以下、5 000美元以上时，大多数观众都会坐下来；等到金额降至500美元时，站着的人已经寥寥无几了。当我说出1美元时，只有1—4名观众仍然站着。一想到人们为了报复对方而宁愿放弃（至少他们声称如此）一大笔钱，我就觉得这个实验非常有意思。我在前面介绍的那种奇怪的彩票，给了人们两个选择：一个是有9/10的概率赢得11.11美元，另一个是有1/100 000的概率赢得100万美元。结果，人们的反应与他们在最后通牒博弈游戏中的表现是一样的。在最后通牒博弈游戏中，最后仍然站着的人通常是青少年。1美元对于他们的意义远胜于在中年观众心目中的价值。
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说到这里，我们回过头去介绍伯努利家族的那名成员，看看他对期望值概念的缺陷有哪些认识。这名成员就是数学家尼古拉斯·伯努利，他是约翰·伯努利的儿子，丹尼尔·伯努利的弟弟。（在这个成就显赫的瑞士家族中，丹尼尔的名气最大。）尼古拉斯研究过一个简单游戏的结果，在这个游戏中，我们需要做的就是记录抛硬币得到的一系列结果。玩家能赢多少钱，取决于他抛硬币的结果。只要抛出反面，奖金就会加倍，游戏继续进行。一旦得到正面，游戏立刻结束，玩家的收获只是当时的奖金。
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假设我们开始时的奖金是1美元。如果第一轮抛硬币的结果是正面，你就会赢得1美元；如果是反面，奖金就会加倍，而且你可以再抛一次。如果第二轮的结果是正面，你就会赢得2美元。如果你坚持到第三轮且得到的结果是正面，你就会赢得4美元。如果你第三轮得到反面，并且第四轮的结果是正面，你就可以赢得8美元，以此类推。尼古拉斯指出，最有意思的是，把奖金定为多少，你才愿意参加游戏？我们应该采取的做法是计算期望值，如果奖金低于期望值，就值得参与。
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要计算出期望值，我们需要知道每次抛硬币时第一次出现正面的概率，然后用它去乘以此时的盈利，再把所有可能的结果加到一起。第一轮抛硬币时，得到正面的概率是1/2。在这种情况下，奖金是1美元，它贡献的期望值是1/2×1美元= 0.5美元。第一轮得到反面且第二轮得到正面的概率是1/2×1/2 = 1/4，此时的奖金是2美元。因此，它贡献的期望值是1/4×2美元= 0.5美元。第三轮得到正面的概率是1/8，奖金为4美元，期望值是1/8×4美元= 0.5美元。我们已经可以看出其中隐藏的规律了：每一轮的期望值都是0.5美元。
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因此，只要把所有可能盈利的期望值加在一起，就可以计算出总期望值。也就是说，总期望值为：
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（1/2×1美元）+（1/4×2美元）+（1/8×4美元）+（1/16×8美元）+…
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=0.5美元 + 0.5美元 + 0.5美元 + 0.5美元 + …
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别忘了，“…”表示继续下去。因此，上面的计算结果表明，无论参加这个游戏需要投入多少钱，根据期望值，你都应该参加。例如，即使参加这个游戏需要投入100万美元，你也应该参加，因为0.5美元 + 0.5美元 + 0.5美元 + 0.5美元 + …的值大于100万美元，实际上，这个和比任何数都大。这个级数的极限是无穷大，也就是说，这个游戏的期望值是无穷大。但是，尼古拉斯·伯努利强调的问题是，只在同样的过程重复很多次时，期望值才真的有效。对于具体某一轮的情况，期望值的效果就不那么好了。
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很难想象有人愿意拿出100万美元，去玩一个只有50%的概率赢得1美元的游戏。其实，玩家只要想一想他们输钱的可能性，就会知道该怎么做。例如，我们知道，最多赢1美元的概率是50%（即1/2），最多赢2美元的概率是75%，最多赢4美元的概率是87.5%，最多赢8美元的概率是93.75%，最多赢16美元的概率是96.875%。也就是说，即使拿出16美元参加这个游戏，亏本的风险也很大。
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因为觉得好玩，我刚刚又玩了一次抛硬币的游戏。想知道结果吗？我在第三轮抛出了正面，这意味着我可以赢得4美元。所有利用概率工具的人都要注意使用它的场合。计算两枚色子中至少有一枚色子掷出某个点数的概率并没有多大的难度，但是我们经常需要这种能力（例如在玩双陆棋时）。当我们在权衡是否要做出某种经济上的承诺时，我们也经常需要计算期望值。但是，考虑是否在某个游戏或投资活动中使用概率工具，不能仅依据“大量人口的平均结果”或“大量交易的平均情况”，还要考虑它可能造成的后果。
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