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有的问题根本不是数学的错，而是数学工具应用不当造成的。我在《超感官》一书中讨论的超自然研究就经常犯这样的错误。假设我们正在测试心灵感应能力。我们预先安排了一场选拔测试，得分高的人才能留下来，成为实验对象。只要我们在正式测试时不考虑他们选拔测试的分数，这种做法就无可厚非，但是，选拔测试的得分通常会被计入正式测试的成绩。这些人之所以能入选，是因为他们的选拔测试得分很高，因此他们肯定会使测试结果偏向肯定性的一面。
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这种“摘樱桃”式的有选择性地使用数据的行为，是统计中的一个常见错误。如果只选择那些对假设有利的数据，忽略或者不重视其他数据，最后得到的结果就会毫无用处，但这种情况却经常发生。有时候，这是一种明目张胆的有意行为；有时候，例如选拔测试，则是无意行为，测试者甚至不知道他们的行为已经导致结果发生了偏差。还有一种可能的情况是想方设法舍弃一些数据。如果实验出了问题，那么在审核这些数据之前将它们舍弃就不会有任何不妥。但是，数据一经审核就不应被舍弃，否则就会有选择性使用数据之嫌。有时候，我们甚至会下意识地找一个理由，去舍弃那些不利于预期结果的数据。
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早期心灵心理学实验者J. B. 莱因也犯过一个无意识的“摘樱桃”的错误。莱因在历时多年的实验中，利用一套“齐纳”牌，针对多名个体进行了多次心灵感应测试。这套牌共计25张，每张印有一个符号，共有5种符号。莱因要求实验对象通过心灵感应，将牌上的符号告诉另一个人。实验中，一位名叫A. J. 林茨迈耶的实验对象连续15次猜中答案。于是，莱因欢欣鼓舞地宣布：“连续15次准确猜出牌上符号的概率是（1/5）15，约为300亿分之一。”
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在这个实验中，“摘樱桃”的错误很难被人发现，错误的原因在于莱因在多轮实验中选择了一轮。如果他真的只做了一轮实验并且实验对象连续猜对了15张牌，他说的概率从技术上讲就是正确的，但是只做一轮实验还不足以保证结果的有效性。也就是说，除了这轮成绩优秀的实验以外，他还做了多轮实验。连续猜对15张牌的那轮测试并不是随机抽取的，而是因为它产生了这种优秀的结果才被选中了，这种行为本身就是在“摘樱桃”。
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除了“摘樱桃”，应用不恰当统计方法的错误也比比皆是，这是因为统计方法有很多种，但并不是所有方法都适用于所有情况。最常见的问题也许是样本过小和样本选取不当。很多“软科学”实验的参与者比较少，往往很难得出明确的结论。样本选取不当的问题之所以经常发生，原因是人们在选择参与者时往往会选择有利于某种观点的人。曾经有人在调查最受欢迎汽车的活动中，选择的样本都是当时拥有某个特定车型汽车的人，这是一个非常典型的样本选取不当的例子，这个样本肯定不能代表所有人。
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实验设计也有可能影响结果的公正性。在心理学的某些领域，实验者往往希望实验结果与他们的预期之间只有非常细微的偏差。假设在完全随机的条件下，我们预期某个实验得到A、B两种结果的机会各占一半。于是，我们准备进行多轮实验，以便得到更准确的数据。比如，进行25轮实验。选择做奇数轮实验，两种结果就不可能恰好各占50%的比例。
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从很多实验可以看出，实验者收集的数据很可能是机缘巧合的结果。经常有报告宣称某种超心理能力肯定存在，因为碰巧出现这些结果的概率非常低。但是，实验者在发布这些信息的时候有些操之过急。原因之一在于，心理学家预防巧合发生的力度远小于物理学家。如果出现随机条件下发生概率为5%的结果，心理学实验人员通常就会认为这不是一种随机结果，尽管这种小概率结果经常出现。更糟糕的是，仅仅证明实验结果可能不是随机结果，往往不能证明某个假设是真实的，也就是说，不能证明这些是超心理能力作用的结果。
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虽然研究人员使用统计工具的过程无可挑剔，但是由于数据解读的问题，他们仍然很难解释实验结果的含义。欧洲核子研究中心大型强子对撞机寻找希格斯玻色子的项目显然就遇到了这个难题。希格斯玻色子是粒子物理学标准模型预言的一种粒子，这种粒子可以使其他粒子具有质量。发现希格斯玻色子与在野外发现一只稀有的老虎是不同的。看到老虎，你可以捕捉、拍照或者取血样并验DNA（脱氧核糖核酸），以确定你看到的确实是一只老虎。但是在寻找希格斯玻色子时，这些方法全部失去了作用。别的不说，实验并没有真的让我们看到希格斯玻色子，而是其他粒子留下来的间接痕迹，实验者认为这些痕迹是希格斯玻色子衰变造成的。由于不是直接证明，实验人员只能通过发生概率来解释，问题也随之而来了。
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科学家经常用“西格玛”（σ）这个符号表示标准差这个统计量度。如果把某个事件随机产生某些结果的频率绘制成图，往往就会得到一种叫作正态分布的钟形曲线。比如，手机的重量大多位于某个范围之内，均匀地分布在平均重量的周围。
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并不是所有的随机事件都遵循正态分布的规律，因为根据这些信息绘制成的图形不是钟形曲线。有的教科书以人的身高为例，介绍数据集的正态分布特点。但是，这个例子并不恰当。美国男性公民的平均身高大约是5英尺6英寸[2]，从这个数字就能看出一些问题，因为典型美国男性公民的身高（用统计学术语来表示，就是中位身高）超过这个高度。分布图的右侧表示身高越来越高，但在超过平均身高1英尺之后，人数就变得非常少了，超过6英尺6英寸的人更是寥寥无几。然而，分布图向左延伸的幅度较大，最左侧的身高比平均身高低2英尺多。这个图像并不是真正的正态分布曲线，而是向右“倾斜”，在左侧留下了一个扁扁的长尾巴。
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标准差是分布形态的一个量度（只在正态分布这种对称分布中才有效）。标准差表示数据的离散程度，可以告诉我们数据是四处分散还是聚拢在平均数周围。如果数据的离散程度是一个标准差，则表示作为随机事件，统计结果有略高于68%的可能性会落在距离平均值一个标准差的范围内。如果数据的离散程度是两个标准差，统计结果有约95%的可能性落在距离平均值两个标准差的范围内。心理学等“软科学”经常采用这种统计方法。但希格斯玻色子数据分布的离散程度是5个标准差。也就是说，我们所寻找的事件落在距离平均值5个标准差范围之外的概率是350万分之一。但是，如果从他们发现的就是希格斯玻色子的置信度这个角度来考虑，又该如何解释这个实验结果呢？
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因此，媒体在报道这项研究时，不得不面对一个可怕的雷区。数据表明大型粒子对撞机给出的结果是一个巧合的可能性非常低。但是，与萨莉·克拉克案一样，我们也不能反过来说，因为巧合发生的可能性非常低，所以希格斯玻色子存在的可能性非常高。数据并不能证明希格斯玻色子可能存在，而只能表明这些数据事出有因的可能性非常高，而且我们猜测造成这个结果的“因”可能就是希格斯玻色子。
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更糟糕的是，两者之间的区别十分微妙，几乎不可避免地会造成误读。有的新闻媒体报道，实验结果表明，不存在希格斯玻色子的可能性是350万分之一。但是，统计数据实际上表明，这些数据事出无因的可能性是350万分之一。这项统计指标并没有说实验结果是巧合导致的可能性非常低，而是说在没有原因的情况下产生这些数据的可能性非常低。这就好比一个人说“从这些结果看，事出无因的可能性非常小”（错误），另一个人说“考虑到这是一个百分之百的随机事件，出现这些结果的频率非常低”（正确），两个人的说法是不一样的。所强调的内容有微小的不同，对于科研的意义却相距甚远。
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一言以蔽之，只要运用得当，概率与统计学可以和现实世界实现完美的契合。这样说是有道理的。我们不是利用抽象的数学为现实世界的某个过程建模，而是测量现实世界的某个基于数据的事实或准事实（例如，“抛一枚质地均匀的硬币，得到正面和反面的概率都是1/2”），并在确认这个数据事实成立之后才使用相关的计算方法。与其说我们利用数学探索宇宙的奥秘，不如说我们是在使用数学研究数字的秘密。
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即使在使用概率和统计学这两大武器时没有犯错误，我们也会遇到一些问题，主要是因为我们无法轻而易举地洞悉一切。我们通过规律去认识、了解周围的世界，即使有的时候根本不存在任何规律，我们也能“找到”规律。尽管我们知道事件的随机性与非正态分布是它们的真实属性，但我们却感到不舒服。正因为如此，即使专业人士在使用基于概率的统计工具时，也必须小心谨慎。
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实践证明，对于以数学为基础的物理学（不仅仅是寻找希格斯玻色子）而言，概率与统计的重要性在不断增加。但是，人们还没来得及证明概率是构成所有物质的粒子的核心属性之一，数学就已经把科学思维推到了另外一个临界点，一个光芒四射的临界点。
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[1]在三牌赌皇后游戏中，作弊者用一只手拿着三张牌，然后用另一只手将这三张牌展开。在操作时，要让其他人以为他每次拿的都是最下面那张牌。但是，通过不断练习，作弊者可以从最上面拿牌而不被人发觉，尤其是当这些牌稍稍弯曲时，作弊的效果更好。
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[2]1英尺约合30.5厘米，1英寸约合2.5厘米。——译者注
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数学世界的探奇之旅 [:1701011753]
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数学世界的探奇之旅 第11章 麦克斯韦：关于电磁波的数学方程组
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几年前，我在伦敦的英国皇家研究院（RI）参加过一次辩论会。辩论会的主题很有意思——谁是历史上的第一位科学家。4个人选都不出意外地在本书中占有一席之地。在辩论过程中，阿基米德和罗吉尔·培根（由我提名）的早期成果在伽利略面前相形见绌，后者凭借现代科学成就最终胜出。但是，研究院常驻科学史学家提名的候选人却是比伽利略在历史上出现的时间晚得多的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。
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麦克斯韦角逐这个头衔有一个不是很公平的理由——“科学家”这个词在他那个时代才正式出现。在那之前，人们普遍使用的是一个拗口的名称——“自然哲学家”。1834年，人们认为，既然从事艺术工作的人被称作艺术家（artist），那么把从事科学研究的人称作科学家（scientist）似乎是合情合理的。（当时，他们提出了几个备选方案，值得庆幸的是，他们最终没有选择“博学之士”这个词。）但是，在那次辩论会上，人们支持麦克斯韦的理由却更加微妙：麦克斯韦是科学领域中让数学彻底摆脱现实的束缚，并在他提出的理论中有所体现的第一人。
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