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做了这些改进之后，他的模型已经比较完美了，唯一的缺陷就是不能很好地表现电荷之间的相互作用。梳理过干燥头发的梳子带有电荷，可以吸住碎纸屑，原因就在于电荷的相互作用。同很多前辈一样，麦克斯韦也发现遇到问题时暂且放一放，反而更容易找到解决办法。
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他想到，纸、瓷器等绝缘体内部的小球体被固定在微小电池上，不能像金属内部的小球体那样自由流动。他又想到，如果绝缘体的微小电池具有弹性（在固定位置上可以发生扭曲），这些电池就可以像弹簧一样，通过扭曲将能量暂时储存起来。与之相比，金属的微小电池是刚性的，几乎不会发生扭曲。这个想法不仅说得通，它还可以高度精确地模拟真实材料的特性，从而帮助我们了解电磁力的真实属性。根据这个模型，静电力与弹簧的势能非常相似，磁力则更像转动能，而且两者一定会产生相互作用，不可能独自出现。所有问题似乎都得到了妥善解决。但是，就在此时，麦克斯韦却发现了一个足以让整个模型变得一文不值的大问题。
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法拉第场被认为无处不在，甚至存在于真空中。由于空间具有极强的绝缘性，因此，根据他的模型，空间应该包含弹性电池。弹性物体的一个特点是它可以传递波。事实上，弹性是波传播的必备条件。由此可见，电磁波似乎可以在真空中穿行。此外，弹性电池的扭曲会产生磁场，磁场又会拉扯邻近的小球体，进而形成电场。麦克斯韦认为，真空中应该有一个包含电波和磁波的自持波，其中电波和磁波彼此垂直，而且都与自持波的传播方向垂直。同时，电波会产生磁波，磁波又会产生电波，循环往复。
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当时，人们已经确认光是一种独特的波，在介质中传播时会发生左右摆动。（通常，只有在介质边缘传播时，波才会左右摆动。）人们还通过实验发现，光与磁之间似乎存在某种联系。麦克斯韦在想，根据他的模型，光就是一种电磁波，这个近乎荒谬的结论到底是不是真的呢？毕竟，光可以毫不费力地穿透真空，从太阳传播到地球。随后，麦克斯韦对这种假设的波的传播速度进行了估算，结果发现它与光在真空中的传播速度非常接近。这个发现进一步展现了这个模型的惊人效力。
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毫无疑问，麦克斯韦在数学工具的使用方面远远超过他的前辈，这也是他当时最令人瞩目的成就。但是，在对气体黏滞性进行了初步研究之后，他又一次放弃了自己建立的模型，然后重新开始研究电磁学。这一次，他没有使用流体、旋转式弹性电池等类比模型，而是采用了现代物理学家都非常熟悉的方法，即建立纯粹的没有掺杂其他任何内容的数学模型。
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虽然他使用的仍然是建立模型的方法，但这个模型仅仅是一些表现一系列逻辑法则的数字。模型中没有图，没有类比，也无法让人们轻松掌握其中的原理。麦克斯韦使用的是18世纪意大利数学家约瑟夫–路易斯·拉格朗日发明的方法——拉格朗日函数。借助拉格朗日函数，人们可以通过微分方程组，以及系统各部分的动量、系统动能等要素，描述系统随时间的变化而发生变化的情况。
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拉格朗日函数就像一个黑箱（在数学家的眼中极具简洁雅致的美感），只需输入已知因素，摇动把手，就能得到答案。使用者根本不需要深入了解系统的物理属性，因为建模时使用的全部是数字。
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为了满足电磁学的特殊要求，麦克斯韦进行了一番复杂的改进，把拉格朗日的研究成果变成了一个比较简单的方程组，用来描述电与磁的特性。麦克斯韦的后辈们利用现代符号表示法，对麦克斯韦方程组进行了完善和精简，最后得到了4个令人惊叹的简短方程：
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对于现代物理学家而言，这些方程简单明了、司空见惯（然而大多数人却会惊叹于它们的复杂程度）。但是，在麦克斯韦提出这些方程组时，大多数科学家都觉得，单凭数学工具就构建出这个模型，实在是一件不可思议的事情。如此彻底地摆脱对现实世界的依赖，是很多人努力追求的目标，其中包括与麦克斯韦同时代的杰出人才、在更年轻时就已成为物理学教授的威廉·汤姆森（即开尔文勋爵）。由于没有人亲眼见过电磁波，因此人们对这个模型的反响并不强烈。但是，这套理论认为，只需让电荷沿着一片金属（现在的人称之为天线）运动，就可能产生电磁波。直到20年后，海因里希·赫兹用这种方法首次生成无线电波，麦克斯韦的这项突出成就才真正得到人们的普遍认可。
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尽管麦克斯韦可以借助数学工具完成他的研究，但在当时，就连他本人也不相信由这些公式得出的所有推论。他喜欢借助数学工具建立模型，但是他认为那些数字不可能直接反映现实世界的本质。麦克斯韦曾经两次无视这些数字给他的提示：一次是他在提出一个假说时没有考虑这些数字；另一次是他直接忽略了这些方程给出的某个预测结果，原因是这个结果太奇怪了。
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那个假说与以太有关。麦克斯韦的电磁波理论成立的前提条件是，真空有容留电磁场的能力，因为电磁波离不开电磁场。波的传播不需要任何介质。如果真的存在类似于普通物理材料的介质，这些波就会显得特别奇怪，因为介质会抑制波的左右振动，导致横波无法从介质中间穿过。通常，这样的波都在介质边缘传播（例如，在水面上或者在小提琴琴弦上）。能从介质中间穿过（例如声音在空气中传播）的波往往是压缩波，也就是波的振动方向与传播方向一致。
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尽管麦克斯韦的模型明确地告诉他，光从恒星发出后，无须以太也能在真空中穿行，但他仍然坚信以太肯定存在。优秀的科学家几乎都兼具叛逆者和传统主义者的双重特点，他们肩负着破旧立新的使命，但是他们又不可能推翻一切、从头开始。他们必须依赖某些现存的观念，但是这些观念往往已经存在很长时间，以致失去了继续存在的意义。以太就是一个这样的概念。有趣的是，包括诺贝尔奖得主弗兰克·韦尔切克在内的一些现代物理学家认为，以太从一定意义上讲仍然是存在的，但是我们需要换一个思路，把数学意义上充斥整个空间的各种场（例如电磁场）视为以太。
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麦克斯韦忽略的那个预测极具震撼性，令人震惊的程度远胜过以太是否存在这一问题。这个预测表明，一定存在可以回到过去的波。为了说明这个问题，我们有必要先花点儿时间，思考一个非常简单的数学问题。在下面这个方程中，x的值是多少呢？
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x2= 4
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即使“代数学”这个词令你惊恐万分、深恶痛绝，解这样的方程你肯定也会胸有成竹。我们的任务就是找到平方为4的x的值。不难发现，2是满足条件的答案。但是，如果在学校考试中解这个方程，回答2只能得到一半的分数，因为答案不止一个。x等于–2时方程同样成立。也就是说，这个方程有2和–2两个解。
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某些方程（例如二次方程，上面这个方程就是一个简单的二次方程）经常会出现有两个解的情况。麦克斯韦方程组在预测电磁波这种自持波存在的可能性时，同样遭遇了这种情况。这些方程的解不是一个，而是两个，并分别被称作“延迟波”和“超前波”。根据这些方程，当我们熟悉的电磁波（包括无线电、X射线、伽马射线在内的所有光）从A传播至B时，这些波都是延迟波。但是，这些方程还描述了第二种波，即从B传播至A的超前波。在延迟波到达B的那一瞬间，超前波从B出发并逆时传播，在延迟波离开A的瞬间到达A。
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这个预测显然面临两大难题。难题之一是，任何人都没有见过超前波。如果超前波真的存在，那么它们似乎可以完成时光倒流这种不可能实现的壮举。尽管数学上没有给出任何提示，告诉人们应该只保留其中一个解，忽略另外一个解，但是大家都这样做了，因为他们认为那个解非常奇怪，不应加以考虑。数学工具似乎给出了一个与现实世界格格不入的预测结果，但是，由于这些方程式完美地描述了电与磁的其他特点，所以人们无法弃之不用。
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直到20世纪40年代，美国的两名物理学家约翰·惠勒和理查德·费曼才发现超前波不仅是这些方程的一个预测结果，它还可以在物理学领域发挥重要作用。尽管科学的发展在一定程度上需要科学家解放思想，但是既有的科学理论对大多数科学家的阻碍作用仍然十分明显。然而，惠勒和费曼都十分开明，不会被常识遮住双眼。
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为了解释光与物质之间的相互作用，费曼等人创立了量子电动力学（QED）这个物理学分支，而走在时间前面的超前波将帮助他们解决一个问题。量子电动力学常常会引出数学意义上的无穷大概念（参见第12章），这个缺点不仅会影响量子电动力学的发展，还会给量子色动力学等现代理论惹来麻烦。当惠勒和费曼提出他们的大胆想法时，量子电动力学面临的电子反冲问题就属于这一类型的麻烦。如果原子中电子的能量降低并释放出一个光子，这个电子就会发生反冲，这与枪支发射子弹的情形十分相似（光子没有质量，但是它们有动量，而动量一定是守恒的）。
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要让电子发生反冲，电子的电场必须作用于电子自身，因此它们实际上构成了一个反馈回路，而且会导致无穷大的结果。但是，当时的人已经知道电子会不停地释放光子，我们看到的光大多就是这样产生的。惠勒和费曼发现，如果每次产生的光子不止一个，而是两个，而且其中一个是逆时运动的超前光子，在解释反冲问题时就不会导致无穷大这种令人无法解释的结果了。
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毫无疑问，惠勒和费曼的研究得出了一个有用的结果，但是人们一直认为这是一种效果不错的数学魔术，对于揭示现实世界的本质没有任何启示作用。当然，使用过这个研究方法的人大多（不包含惠勒和费曼）不认为物质世界中真的存在超前波和超前光子，但是这个例子再次说明数字可以产生与实际观察相匹配的结果（尽管本例中的这个结果有点儿出乎人们的意料）。常识告诉我们，波不可能进行逆时传播，但是数学工具却告诉我们相反的预测结果。事实证明，数学工具做出的稀奇古怪的预测，与更加直接的研究方法相比，其反映现实的效果更好。
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对于现代数学界而言，无论我们怎么理解麦克斯韦方程组的解，这些方程都没有多大的难度，尽管当初提出这些方程的人是一个天才。然而，正如与麦克斯韦同时代的格奥尔格·康托尔发现的那样，即使是专业的数学人员，也会遇到解决不了的难题。
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