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即使“代数学”这个词令你惊恐万分、深恶痛绝，解这样的方程你肯定也会胸有成竹。我们的任务就是找到平方为4的x的值。不难发现，2是满足条件的答案。但是，如果在学校考试中解这个方程，回答2只能得到一半的分数，因为答案不止一个。x等于–2时方程同样成立。也就是说，这个方程有2和–2两个解。
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某些方程（例如二次方程，上面这个方程就是一个简单的二次方程）经常会出现有两个解的情况。麦克斯韦方程组在预测电磁波这种自持波存在的可能性时，同样遭遇了这种情况。这些方程的解不是一个，而是两个，并分别被称作“延迟波”和“超前波”。根据这些方程，当我们熟悉的电磁波（包括无线电、X射线、伽马射线在内的所有光）从A传播至B时，这些波都是延迟波。但是，这些方程还描述了第二种波，即从B传播至A的超前波。在延迟波到达B的那一瞬间，超前波从B出发并逆时传播，在延迟波离开A的瞬间到达A。
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这个预测显然面临两大难题。难题之一是，任何人都没有见过超前波。如果超前波真的存在，那么它们似乎可以完成时光倒流这种不可能实现的壮举。尽管数学上没有给出任何提示，告诉人们应该只保留其中一个解，忽略另外一个解，但是大家都这样做了，因为他们认为那个解非常奇怪，不应加以考虑。数学工具似乎给出了一个与现实世界格格不入的预测结果，但是，由于这些方程式完美地描述了电与磁的其他特点，所以人们无法弃之不用。
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直到20世纪40年代，美国的两名物理学家约翰·惠勒和理查德·费曼才发现超前波不仅是这些方程的一个预测结果，它还可以在物理学领域发挥重要作用。尽管科学的发展在一定程度上需要科学家解放思想，但是既有的科学理论对大多数科学家的阻碍作用仍然十分明显。然而，惠勒和费曼都十分开明，不会被常识遮住双眼。
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为了解释光与物质之间的相互作用，费曼等人创立了量子电动力学（QED）这个物理学分支，而走在时间前面的超前波将帮助他们解决一个问题。量子电动力学常常会引出数学意义上的无穷大概念（参见第12章），这个缺点不仅会影响量子电动力学的发展，还会给量子色动力学等现代理论惹来麻烦。当惠勒和费曼提出他们的大胆想法时，量子电动力学面临的电子反冲问题就属于这一类型的麻烦。如果原子中电子的能量降低并释放出一个光子，这个电子就会发生反冲，这与枪支发射子弹的情形十分相似（光子没有质量，但是它们有动量，而动量一定是守恒的）。
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要让电子发生反冲，电子的电场必须作用于电子自身，因此它们实际上构成了一个反馈回路，而且会导致无穷大的结果。但是，当时的人已经知道电子会不停地释放光子，我们看到的光大多就是这样产生的。惠勒和费曼发现，如果每次产生的光子不止一个，而是两个，而且其中一个是逆时运动的超前光子，在解释反冲问题时就不会导致无穷大这种令人无法解释的结果了。
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毫无疑问，惠勒和费曼的研究得出了一个有用的结果，但是人们一直认为这是一种效果不错的数学魔术，对于揭示现实世界的本质没有任何启示作用。当然，使用过这个研究方法的人大多（不包含惠勒和费曼）不认为物质世界中真的存在超前波和超前光子，但是这个例子再次说明数字可以产生与实际观察相匹配的结果（尽管本例中的这个结果有点儿出乎人们的意料）。常识告诉我们，波不可能进行逆时传播，但是数学工具却告诉我们相反的预测结果。事实证明，数学工具做出的稀奇古怪的预测，与更加直接的研究方法相比，其反映现实的效果更好。
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对于现代数学界而言，无论我们怎么理解麦克斯韦方程组的解，这些方程都没有多大的难度，尽管当初提出这些方程的人是一个天才。然而，正如与麦克斯韦同时代的格奥尔格·康托尔发现的那样，即使是专业的数学人员，也会遇到解决不了的难题。
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数学世界的探奇之旅 第12章 康托尔：让一众科学家挠头的无穷大
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无穷大这个概念一直令人耿耿于怀，其实并不奇怪。从古希腊时期开始，人们就开始思考无穷大是否存在、本质是什么的问题。古希腊人肯定知道，用于计数的正整数序列没有尽头。如果真的有最大的整数（我们用max来表示这个数），就必然有max+ 1、max+ 2等更大的数。但是，无穷大概念让古希腊人很不舒服，他们用来表示这个概念的“阿派朗”（apeiron）一词就有混乱的含义。
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哲学家亚里士多德就曾对这个概念进行过研究，他的观点在随后几百年时间里一直占据主导地位。公元前384年，亚里士多德出生于希腊北部。他认为，无穷大具有必然性，但是又无法达到。他从世间万物中找到了一些他认为属于无穷的例子，例如，他认为整数（我们已经知道整数是无穷的）和时间就是无穷的。此外，他还认为有的东西是无限可分的。但是，与此同时，他又提出了几个含混不清的观点，想证明无穷大不可能存在于现实世界中。例如，他说任何物体都有边界，如果某个物体是无穷大的，它就不可能有边界，也就不可能存在。
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在明显经过一番艰苦的心理斗争之后，亚里士多德最终断定无穷大不是一种存在于现实世界的概念，而是一种潜在的可能性，在现实中永远无法实现。无穷大是存在的，但是不能根据需要变为现实。他以古代奥运会比赛为例，简单明了地介绍了自己的这个想法。比赛毫无疑问是存在的，肯定不是一个虚构的概念。但是，一般而言，如果有人请你把奥运会比赛展示给他看，你肯定做不到。因此，奥运会比赛就是一个潜在的实体，你没有办法仔细端详，小心鉴别。亚里士多德小心翼翼地指出，尽管某些潜在实体在特定时间或特定空间里会变成现实，但是无穷大不包括在内。
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牛顿和莱布尼茨创立微积分的时候，使用的正是潜无穷的概念（参见第9章）。微积分中的无穷大是一种极限。我们非常熟悉的双纽线符号（∞），表示的就是这种可望而不可即的目标，也就是亚里士多德所讲的潜无穷。与牛顿同时代的约翰·沃利斯在一篇枯燥乏味的论文中第一次使用了这种符号。但是，沃利斯仅仅说了一句“用∞表示无穷大”，却没有解释这个符号从何而来。
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直到19世纪，绝大多数数学家都认为亚里士多德的观点是正确的。他们普遍认为，潜无穷这个概念是正确理解无穷大的唯一可行的途径。例如，享有盛名的19世纪德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯明确地说：
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我反对将无穷量视为一个实体，这在数学中从来都是不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式，其真正的意义是指某些比值无限接近于某个极限，而另一些比值则可以无限增大。
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但是，并不是所有数学家都被这种思想蒙蔽了双眼，伽利略就是这些异类中最引人注目的一个。一说到伽利略，我们首先想到的是他因为支持哥白尼的日心说而受到宗教裁判所的审判并被终身监禁。但是，伽利略对科学领域做出的最重要的贡献其实是他于1638年出版的《两种新科学的对话》。这是他在物理学领域的代表作，为牛顿成功完成关于力学和运动的研究奠定了基础。
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同他支持哥白尼的日心说、给他带来无数麻烦的那部著作一样，这部新作也采取了三人对话的形式（这在当时十分流行）。它放弃了古板的拉丁语，改用意大利语，可读性远胜牛顿用专业术语撰写的几乎无法理解的作品。在此之前，伽利略因为出版著作已经被判终身监禁，这本书可以成功出版的确不是一件易事。最初，伽利略准备在威尼斯出版这本书。当时，威尼斯因为从罗马帝国独立出去而自视甚高。但是宗教裁判所发出了一系列禁令，禁止出版伽利略的所有作品。伽利略只有获得宗教裁判所的批准，才能出版自己的这部新作。
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顽强不屈是伽利略最显著的特点。尽管受到禁令的限制，而且间接违反禁令的钻空子行为将会为他带来危险，但伽利略没有放弃。1636年，荷兰出版商洛德韦克·埃尔泽维尔造访意大利，伽利略想办法把手稿送给他看。在最终付梓成书时，人们发现它的献词非常有意思。之前，伽利略每次都会把他的作品献给权势人物，而且从不吝啬他的赞美之词（很可能是因为当时谄媚成风）。作为交换，他有可能得到对方的资助。但是，这本书却被献给了他以前的学生、法国驻罗马大使弗朗索瓦·德·诺瓦耶，而且他在写献词时十分小心。显然，他绝不希望给诺瓦耶惹来麻烦。
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从字里行间可以看出伽利略既有简单直接的一面，又有迂回曲折的一面。宗教裁判所受他蒙骗的可能性非常小，但他们似乎并不是很重视这件事。伽利略称：
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我已经决定不再出版任何成果。但是，为了我的研究不被彻底遗忘，我觉得有必要在某个地方留一份手稿，至少让那些研究相同内容而且方法得当的人有机会看到它。因此，我首先想到要将我的研究成果交到阁下手中……
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伽利略既感谢诺瓦耶的热心帮助，又不想让人们认为诺瓦耶是负责这本书的出版事宜的人，因此，他抛出了几个神秘的中间人：
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