1701012830
顽强不屈是伽利略最显著的特点。尽管受到禁令的限制，而且间接违反禁令的钻空子行为将会为他带来危险，但伽利略没有放弃。1636年，荷兰出版商洛德韦克·埃尔泽维尔造访意大利，伽利略想办法把手稿送给他看。在最终付梓成书时，人们发现它的献词非常有意思。之前，伽利略每次都会把他的作品献给权势人物，而且从不吝啬他的赞美之词（很可能是因为当时谄媚成风）。作为交换，他有可能得到对方的资助。但是，这本书却被献给了他以前的学生、法国驻罗马大使弗朗索瓦·德·诺瓦耶，而且他在写献词时十分小心。显然，他绝不希望给诺瓦耶惹来麻烦。
1701012831
1701012832
从字里行间可以看出伽利略既有简单直接的一面，又有迂回曲折的一面。宗教裁判所受他蒙骗的可能性非常小，但他们似乎并不是很重视这件事。伽利略称：
1701012833
1701012834
我已经决定不再出版任何成果。但是，为了我的研究不被彻底遗忘，我觉得有必要在某个地方留一份手稿，至少让那些研究相同内容而且方法得当的人有机会看到它。因此，我首先想到要将我的研究成果交到阁下手中……
1701012835
1701012836
伽利略既感谢诺瓦耶的热心帮助，又不想让人们认为诺瓦耶是负责这本书的出版事宜的人，因此，他抛出了几个神秘的中间人：
1701012837
1701012838
埃尔泽维尔告诉我他们准备出版我的这些成果，要求我起草献词并且立刻做出答复。这些出版商曾经出版过我的一些成果，因此他们希望继续出版我的这项成果，并把它变成漂亮的精装版书籍。这个消息让我深感荣幸，也有些措手不及。我知道，他们能拿到我的手稿，是因为阁下为了帮助我恢复和传播名声而把我的成果介绍给了几位好友。
1701012839
1701012840
他对诺瓦耶心怀感激，同时又表示，手稿到达出版商的手里是诺瓦耶的几位不知名的朋友促成的。很显然，伽利略在这本书即将付印时才收到消息的说法是不真实的。早在埃尔泽维尔造访意大利时，伽利略就想尽办法把书稿送到了他手上。不仅如此，他和埃尔泽维尔还有书信往来，就这本书的内容进行过深入探讨。伽利略是一位令出版商咬牙切齿、捶胸顿足的作者，因为不到最终出版他都不会停止修改书稿。即使在采用电子印刷技术的现代，这种行为也会导致相当大的麻烦。而在当时，人们必须利用活字印刷术小心翼翼地将所有书页制成一个个印刷版，因此，任何修改都是一场可怕的噩梦。然而，无论是因为宗教裁判所遭受了蒙蔽，还是因为他们睁一只眼闭一只眼，这本书最后还是成功出版了，但伽利略的祖国意大利并没有公开发售。
1701012841
1701012842
书名中所说的“两门新科学”是指对固体物质的本质研究与对运动的分析，无穷大的概念出现在这本书的第一部分。在分析固体物质紧密结合在一起的原因（例如，金属块为什么难以分割）时，书中的一位主角认为，构成这些固体物质的粒子之间的真空将它们紧密地吸附在一起。（真正的原因其实是电磁作用，因此他的这个观点是不正确的，但听起来有些道理。）这个说法遭到了辛普利西奥（书中三个人物之一）的质疑，辛普利西奥是古希腊思想的信徒，他的任务就是质疑新思想。他认为，由于空间十分狭小，即使有真空存在，作用力也会非常小，远不足以让金属紧密地吸附在一起。
1701012843
1701012844
于是，三个人继续思考。很多微弱的作用力加到一起，是不是可以变成一股异常强大的作用力呢？三人中的萨格雷多说：“也就是说，数量庞大的蚂蚁群可以抬起装满谷物的船。”他认为，无数个微小的作用力加在一起，就可以克服任何阻力，只要这个阻力不是无穷大的。萨格雷多的“只要这个阻力不是无穷大的”这个条件，遭到了萨尔维亚蒂的嘲笑。萨尔维亚蒂在这本书中主要是扮演伽利略的代言人，他说，即使一个物体的大小有限，其内部也完全有可能存在无穷多个真空。
1701012845
1701012846
这似乎是一种托词，伽利略的真正目的可能是提出几个与无穷大有关的有趣想法，因为他接下来又用大量篇幅探讨了无穷大的本质。与亚里士多德提出的那个说服力不足却令数学界认可了很多年的潜无穷概念不同，伽利略给出的是一个实实在在、没有任何掩饰的事实。他画了一个想象出来的奇怪的组合图形，用来说明无穷大的神奇特性。
1701012847
1701012848
这个组合图形是由大小不同的两个六边形组成的，小的六边形贴在大的六边形前面，6个角对齐，都位于水平轨道上。然后，萨尔维亚蒂请另外两个人想象着把这两个六边形转动1/6圈。这个六边形“车轮”向前移动的距离应该等于大六边形的边长，因为现在是第二条边在最下面。这个结果没有什么稀奇的地方。但是，我们知道小六边形的边长要短得多。小六边形沿着轨道转动了1/6圈，因此它移动的距离应该是小六边形的边长，但是实际上，它前进的距离却等于大六边形的边长。
1701012849
1701012850
1701012851
1701012852
1701012853
这个现象并不难解释。大六边形转动时，小六边形就会从轨道上被抬起，向前跳跃，跳跃的距离正好等于这两个六边形边长的差。因此，小六边形不仅向前移动了一个边长的距离，还向前跳跃了一段距离，两者之和正好等于大六边形的边长。
1701012854
1701012855
到目前为止，这个解释没有任何问题。接着，伽利略想，如果多边形的边数不断增加，结果会怎么样呢？随着边数增加，车轮转动1/6圈时，大多边形就会有更多的边参与这个过程，同时，小多边形需要完成更多次的小幅跳跃。在接下来的想象中，伽利略展现了他的聪明才智。他不断增加多边形的边数，直至车轮变成圆形。此时，多边形的边数实际上变成了无穷大。在这种情况下，如果整个车轮转动1/6圈，小车轮也会转动1/6圈，但是它仍然可以与大车轮保持同步，向前移动相同的距离。此时，由于车轮是标准的圆形，因此它应该不会在轨道上跳动。
1701012856
1701012857
1701012858
1701012859
1701012860
这就令人感到迷惑不解了（辛普利西奥对此感觉尤为奇怪）。伽利略借萨尔维亚蒂的口说，这是因为小车轮完成了无穷多个幅度无穷小的跳跃，这些跳跃的总长度，正好弥补了小车轮移动距离上的不足。萨尔维亚蒂一面满怀愧疚地承认这个事实令人震惊，一面又请求不妨放下该书当前讨论的内容，转而对无穷大这个概念加以研究。另外两个人也高兴地同意了他的请求。
1701012861
1701012862
他们先举了一个晦涩难懂的例子，并用几何方法证明了点的集合与圆的圆周有可能大小相同，然后又回过头来继续讨论这些车轮。辛普利西奥发现，第一个例子似乎包含两个无穷大：大车轮周长的1/6是由无穷多个点构成的，小车轮周长的1/6也是由无穷多个点构成的。这两个数都是无穷大，但是一个无穷大对应的结果却大于另一个。萨尔维亚蒂先是敷衍搪塞，说从有穷的角度去理解无穷的概念，就会导致这个问题，但紧接着他又试图向辛普利西奥证明，这是无穷大的内在属性造成的一种奇怪现象。
1701012863
1701012864
他的证明使用了正整数（即自然数）的平方数这个概念。萨尔维亚蒂说，每个自然数都对应一个平方数。辛普利西奥欣然同意这个说法。接着，萨尔维亚蒂又问他，自然数有无穷多个，而且每个自然数都对应一个平方数，那么这些平方数的个数是不是等于正整数的个数呢？答案显然是肯定的。但是，正整数中还有很多数本身并不是平方数，例如2、3、5、6、7等。也就是说，每个平方数都会对应一个自然数，而自然数的个数远多于平方数。
1701012865
1701012866
伽利略通过这番讨论明确地告诉我们，传统的运算法则不适用于处理实无穷。此时，“相等”、“小于”、“大于”等概念也会失去它们的传统含义。我们可以说一个无穷集（例如正整数集）可能包含无穷子集（例如平方数集）。伽利略笔下的这三个人之所以遭遇麻烦，原因之一就是他们把无穷大看作一个数字（伽利略就是这样想的）。我们现在不会把无穷大看作一个数字。我们可以说某些事物构成了一个无穷集，但不会说这是一个无穷大的数字。如果伽利略晚出生200年，就会明白其中的道理。
1701012867
1701012868
在伽利略之后，所有人都把眼光投向了更容易让人接受的潜无穷概念。直到19世纪，格奥尔格·康托尔决心揭开其中的真相，才改变了这种状况。康托尔是一名数学家，但是由于他坚信无穷大是一种真实的存在，再加上其他数学家都认为他是在引火烧身，所以，不仅他的职业生涯充满了艰辛，他的精神世界最终也轰然倒塌。康托尔认为，数学和数学家都可以接受无穷大真实存在这个赤裸裸的事实。他试图证明有比无穷大还大的存在。这项似乎根本不可能取得成功的研究，在现实世界中没有明显的实用价值，但康托尔取得的成就并不只是这些。
1701012869
1701012870
康托尔还是集合论的创立人，集合论似乎可以解释数学的作用原理。要感受康托尔在无穷大研究领域中表现出来的杰出天赋，我们有必要对集合论稍加了解。在本书第1章，我提到了数字到底是什么以及它们与周围世界存在什么关系的问题。集合论对数字进行了形式上的定义，而且这个定义显然是以现实为基础的，但它又摆脱了现实的束缚，卓尔不群地屹立在柏拉图洞穴外面的数学世界之中。集合论对于数学的意义就相当于原子论对于科学的意义。我们曾经懵懂无知地生活了几千年，但是在接受了原子的存在之后，我们就认同它们是构成自然界的基本单位。同样，在几千年的时间里，数学研究并没有因为集合论的缺失而令我们感到任何不适。但是，集合论问世后就立刻变成一切数学研究的基础。
1701012871
1701012872
所谓集合，是指一系列具体事物或者抽象概念。这些事物或者概念都有一个共同的特点（例如一组名叫“布赖恩”的事物或者一组看上去像甜甜圈的事物），或者是基于地点或时间建立起某种联系的随机组合（例如纽约人行道上的所有事物，或者你今天上午想起来的事情）。集合论的某些表达还进入了人们的日常用语。“子集”是指在一个集合中拥有另外某个共同特点的所有元素的集合，是包含在一个大集合中的集合。例如，“美国人”这个集合是“人”这个大集合的一个子集。集合中的各项称作该集合的元素，也就是说，只要你不是智能机器，你就是“人”这个集合中的一个元素。
1701012873
1701012874
大家可能见过用维恩图这种直观的方法表示的集合。用维恩图来表示集合的相交与合并，这是很容易理解的。例如，我们可以用下图表示“人”与“在纽约生活的生物”这两个集合（除了人以外，后者还包含很多其他元素）相交的情况，其中重叠的部分代表“在纽约生活的人”。
1701012875
1701012876
1701012877
1701012878
1701012879
使用搜索引擎时，我们经常会不自觉地使用各种集合。借助“与”“或”“非”等布尔代数术语，我们可以进行集合的合并或者选择。例如，如果你使用下面这个搜索项在网上搜索图片：