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物理学家罗杰·彭罗斯认为，既然可以用这种方法定义数字，就说明：“只需发挥想象力，这些数字就会栩栩如生地出现在我们的脑海里，我们可以充满信心地使用它们，而不需要考虑物质世界的任何属性。”然而，我认为这个理由包含了不可靠的诡辩术成分。毫无疑问，我们无法仅凭想象力就让自然数“出现”在我们的脑海里，或者说我们无法完全脱离具体物体，凭空想象出这些数字。
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而且，所谓集合，就是一系列实体。要建立集合的概念，首先必须有这些实体存在。如果现实世界中没有可以计数的物体，很难想象我们会产生集合的概念。比如，我们假设世界上存在一种有思维能力的生物，它既没有具体形状，又与物质世界没有联系。既然这个生物除了自己的存在以外，得不到任何其他体验，那么它怎么能像我们一样感知到周围世界的多样性呢？它又怎么可能产生自然数、集合等概念呢？
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佩亚诺和康托尔借助集合论，使算术脱离了数山羊的现实活动，为数学中的数字奠定了理论基础。从某种意义上看，这个抽象化过程帮助数字摆脱了计数作用，直达数字的本质，因此具有非常显著的意义。但是，这个变化过程也使某些数学家感到不安（时至今日，他们仍然不能释怀），这是因为集合论的核心理论包含一个令人不安的悖论。第一个指出集合论面临这种困境的人是英国哲学家、数学家伯特兰·罗素。
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佩亚诺通过创建以其他集合作为自身元素的集合，推导出了自然数。与之相似，罗素研究的是另一种包含子集的集合，具体地说，他是从集合是不是自身的元素这个角度展开研究的。这个说法似乎会导致棘手的递归问题，但是，通过具体实例，我们就可以洞见其中的奥秘。例如，我们考虑“狗”这个集合。与这个集合对立的是一个更大的集合——“除了狗以外的所有事物”。假设我们认为“所有事物”不仅仅包含具体事物，那么“除了狗以外的所有事物”就是它自身的一个元素，因为它是一个非狗集合。同理可知，“狗”这个集合不是它自身的元素。
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接下来，罗素提出了一个新颖的问题：考察“不是自身元素的所有集合”这个集合。这个集合包含“狗”这个集合，但是不包含“除了狗以外的所有事物”这个集合。我们把这个新的集合称作“非元素”集合。罗素问道：“非元素”集合是不是它自身的一个元素？
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至此，我们的大脑很可能已经陷入困境而难以自拔了，当年的罗素就遇到了同样的麻烦。如果“非元素”集合是自身的一个元素，那么根据定义，它就不是自身的一个元素，因为这个集合就是这样定义的。同样，如果“非元素”集合不是自身的一个元素，那么它应该是自身的一个元素。从逻辑上讲，“我说的这句话是谎言”这句话与“非元素”集合有相同的效果，都会导致自相矛盾的结果。事实上，罗素要告诉我们的是，集合论有一个固有的内在矛盾，这是数学家无法容忍的。但是，集合论仍然是数字本质和简单算术的基础。
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我们将在下文继续讨论罗素发现的集合论问题，但是现在我们先花点儿时间，看一看康托尔的研究，了解无穷集合的定义。如果将佩亚诺构建自然数的方法发挥到极致，就会得到一个无穷集合。这与用双纽线符号表示的潜无穷有所不同，因此康托尔发明了一个新的符号——，它是由希伯来文的第一个字母与0构成的，表示这是最简单的无穷集。我们熟悉的那些运算法则对于这个集合是无效的，这与我们对无穷大的理解是一致的，伽利略那部著作中的辛普利西奥也发现了这个问题。例如，从集合的本质我们可以得到下面这些运算法则：
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利用集合论，我们可以毫不费力地解决让伽利略头疼不已的那个平方数与正整数的难题。我们知道，可以根据两个集合中的元素是否可以构成一一对应的关系来判断它们是否等势。在解决平方数和正整数的这个难题时，我们同样可以利用这个方法，将它们一一配对，即每个平方数对应一个正整数。由于我们可以完成这个步骤，说明这两个集合是等势的，都是。因此，无穷集与自身的一个子集等势的奇怪现象就可以解释了。我们在指南针指针方向与季节的例子中已经发现，无须知道集合有多少个元素，也可以确定它们是否等势。
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如果我们根据自己在周围世界中获得的体验来理解数学过程，就会导致这样的问题。我们难以理解无穷集的性质，是因为我们以为它们具有与有穷数字（尤其是现实世界中数量有限的物体）相类似的特点。然而，尽管集合可以帮助我们理解数字的含义，但是集合不是数字，而是一种数学建构。只有清楚地理解集合是一种截然不同的实体（它与数字的关系可以帮助我们理解数字），我们才能正确理解无穷集的奇怪特性。
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在集合论的帮助下，康托尔成功地定义了自然数的无穷性，即。我们也许会认为，集合论对无穷大的研究已经到了极致。但是，作为数学家，康托尔绝不愿意不加深究就轻信任何结论，这也是他在“”后面附上一个0的初衷。这只是最简单的无穷，但是他还没有证明，包含整数在内的所有数字构成的集合，是否也与之等势。因此，康托尔决定继续研究下去。这一次，他使用的是非常简单易懂的数学证明。现代数学证明往往包含一页又一页的方程式。20世纪，安德鲁·怀尔斯证明著名的费马大定理的过程超过100页纸的篇幅。然而，不用任何方程，我们也可以基本理解康托尔的无穷集合证明。
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证明过程必须注重严谨性，在用数学语言描述时，仅仅使用几张图表肯定是不够的。在介绍康托尔的证明时，我将对证明过程略做压缩处理，但是它们仍然非常直观，古希腊几何学家肯定也会欣然接受。不幸的是，与康托尔同时代的人却持有不同的看法。
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康托尔考虑的第一类数字是有理分数。他想象把所有正有理分数填入一张表中，使分子从左到右逐项加1，分母自上而下也逐项加1。于是，他得到下面这张表：
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显然，这张表是无法完整画出来的，因为它是一张无穷大的表。但是，我们可以看出它的规律。表中包含所有的有理分数，并且数字1将沿着对角线方向出现无数次。接下来，康托尔需要在表中找出一条可以到达所有位置的简单重复路径，才能证明表中的有理分数集与自然数集等势。也就是说，他需要制定一些法则，即算法，来帮助他通过一个简单的程序覆盖表中的所有方格，比如：
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1. 从左上角出发。
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2. 向右前进一步。
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3. 向左下方运动至表的边缘。
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4. 向下前进一步。
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5. 向右上方运动至表的边缘。
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6. 重复第2步及后续步骤。
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通过这个程序，最终可以走过表中所有有理分数，并且不会有任何遗漏。
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