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如果我们根据自己在周围世界中获得的体验来理解数学过程，就会导致这样的问题。我们难以理解无穷集的性质，是因为我们以为它们具有与有穷数字（尤其是现实世界中数量有限的物体）相类似的特点。然而，尽管集合可以帮助我们理解数字的含义，但是集合不是数字，而是一种数学建构。只有清楚地理解集合是一种截然不同的实体（它与数字的关系可以帮助我们理解数字），我们才能正确理解无穷集的奇怪特性。
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在集合论的帮助下，康托尔成功地定义了自然数的无穷性，即。我们也许会认为，集合论对无穷大的研究已经到了极致。但是，作为数学家，康托尔绝不愿意不加深究就轻信任何结论，这也是他在“”后面附上一个0的初衷。这只是最简单的无穷，但是他还没有证明，包含整数在内的所有数字构成的集合，是否也与之等势。因此，康托尔决定继续研究下去。这一次，他使用的是非常简单易懂的数学证明。现代数学证明往往包含一页又一页的方程式。20世纪，安德鲁·怀尔斯证明著名的费马大定理的过程超过100页纸的篇幅。然而，不用任何方程，我们也可以基本理解康托尔的无穷集合证明。
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证明过程必须注重严谨性，在用数学语言描述时，仅仅使用几张图表肯定是不够的。在介绍康托尔的证明时，我将对证明过程略做压缩处理，但是它们仍然非常直观，古希腊几何学家肯定也会欣然接受。不幸的是，与康托尔同时代的人却持有不同的看法。
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康托尔考虑的第一类数字是有理分数。他想象把所有正有理分数填入一张表中，使分子从左到右逐项加1，分母自上而下也逐项加1。于是，他得到下面这张表：
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显然，这张表是无法完整画出来的，因为它是一张无穷大的表。但是，我们可以看出它的规律。表中包含所有的有理分数，并且数字1将沿着对角线方向出现无数次。接下来，康托尔需要在表中找出一条可以到达所有位置的简单重复路径，才能证明表中的有理分数集与自然数集等势。也就是说，他需要制定一些法则，即算法，来帮助他通过一个简单的程序覆盖表中的所有方格，比如：
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1. 从左上角出发。
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2. 向右前进一步。
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3. 向左下方运动至表的边缘。
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4. 向下前进一步。
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5. 向右上方运动至表的边缘。
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6. 重复第2步及后续步骤。
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通过这个程序，最终可以走过表中所有有理分数，并且不会有任何遗漏。
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可以采取的路线不止一种，但重要的是，沿着康托尔建立的这条路线，我们可以一步一步地走遍所有方格。我们每迈出一步，就会走过一个方格。我们需要做的就是将这些步骤与整数配对，从而按部就班地建立起一一对应的关系。也就是说，总体来看，表中的有理分数集与整数集等势。因此，有理分数集的元素个数是。
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这个结论自然不会让我们大吃一惊。毕竟无穷大非常特殊，而且我们知道下面这个等式是成立的：
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×=
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直觉告诉我们，有理分数集符合这个规律是有道理的。但是，这并不意味着所有数学现象都是合理的。当康托尔使用同样的方法研究另一个数集时，他无比震惊地发现结果竟然大相径庭。
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想一想，0—1之间有哪些数字。（康托尔研究的其实不是这些数字，但是0—1的数字考虑起来最简单。）这里说的“数字”指什么呢？不仅仅是整数（如果我们说的0—1这个范围包含边界，那么共有两个整数），也不仅仅是有理分数（0—1之间的有理分数就是第195页表格第一列中的所有数字，也就是分子是1、分母是各个整数的所有分数。它们是所有分数的一个势为的子集）。除了这些数以外，还有无理数，即与2的平方根相类似的数，但我们在这里讨论的无理数数值都在0—1之间。
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从本质上讲，康托尔考虑的其实就是0—1之间的所有小数（即“实数”），而且包含这个范围内所有可能的数字。要使用上面那个方法，我们必须将表格打乱重排，否则小数的开头就会有无数个0，无论多大的纸也写不下这些0。重新排列之后，我们可能会得到下面这张表格：
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