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在欧几里得精心搭建的几何系统中（别忘了，在这个命题之前，还有31个其他命题），这个命题肯定是对的，不容置疑。可是，一旦离开了平整的表面，它就不成立了。在地球这个等球体上（地球至少是一个近似球体），与直线相对应的是大圆。显然，球面上的所有线不可能在所有三个维度上都是直线。事实上，所有线都是弯曲的，曲率与地球表面相同。大圆是指围绕地球表面且圆心与地球球心重合的所有曲线。
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我们可以做一个简单的实验，利用大圆构建一个三角形，就可以彻底推翻欧几里得几何学。我们从赤道这个大圆上取两个不重合的点，然后从这两个点开始，向北极方向各作一条与赤道成90度角的直线（分别与另一个大圆重合）。这两条直线将在北极相交，并构成一个夹角。赤道上两点之间的距离越大，两条直线在北极形成的夹角就越大。接下来，我们计算这个三角形的内角和。赤道上的两个角各为90度，第三个角的度数还不确定，但它们的和肯定超过180度。事实上，如果赤道上两点之间的距离为10 000千米（约等于赤道至北极的距离。千米这个单位当时就是通过这个方法定义的），这个三角形就是一个等边三角形，三条边的长度都相等。此时，三个内角都是90度，因此这个三角形的内角和是270度。
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由此我们知道，爱因斯坦在计算广义相对论中的时空曲率时，是无法使用欧几里得几何定理的，因为他使用的数学工具必须可以处理曲面。更令人吃惊的是，他甚至还要处理四个维度（包括三个空间维和一个时间维）全部弯曲的情况。爱因斯坦的朋友马塞尔·格罗斯曼为他提供了一个解决方案：德国数学家伯恩哈德·黎曼创立的当时最先进的弯曲空间几何学。
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此时，爱因斯坦的研究成果已经引起所有人，尤其是德国杰出的数学家戴维·希尔伯特的注意。希尔伯特曾邀请爱因斯坦到他任教的哥廷根大学做报告。之后，他对爱因斯坦的关注度进一步提高。当时，爱因斯坦的研究仍然有几个不完善的地方，希尔伯特似乎认为，他应该赶在爱因斯坦之前完成改进工作。事实上，尽管爱因斯坦先于希尔伯特发表了第一篇完整的广义相对论论文，但人们一度认为希尔伯特率先完成了那些方程，只不过他发表论文的时间晚于爱因斯坦。后来，人们发现希尔伯特的原始论文本身存在若干缺陷，他在看到爱因斯坦的论文之后才进行了修改，因此首发权仍然应该归属于爱因斯坦。
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无论第一个完成这项工作的人是谁，第一个着手研究广义相对论的人毫无疑问是爱因斯坦。与牛顿和莱布尼茨在微积分开创者问题上的纷争不同，爱因斯坦与希尔伯特并没有相互指责，希尔伯特还大度地承认这是爱因斯坦的杰作。整个研究成果可以用一个看起来十分简单的方程表示：
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Gµv+Λgµv= (8πG/c4)Tµv
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除了光速的四次幂以外，整个方程看起来似乎非常简单，但是那些带有µv下标的参数都不是简单的变量，而是爱因斯坦从黎曼研究成果中借鉴而来的张量——一种功能强大但是难以操作的数学工具。张量可以把不同数值、矢量以及其他张量之间的多维关系压缩成一个单项。这个单项看似非常简单，但是其背后隐藏着一个变量矩阵。把引力场方程中的张量展开，将会变成10个基本微分方程，而且其中涉及的值会根据在空间和时间中的位置不同而发生变化。
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牛顿的万有引力理论包含一个简单的基本方程（牛顿本人并没有使用这个方程）：
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F=Gm1m2/r2
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整个方程只涉及常数G、两个天体的质量与它们之间的距离（r）。爱因斯坦的方程也有G，但是其他需要考虑的因素远不只是质量的影响作用，尽管质量非常重要。其中一个关键因素是，物体质量不固定且随着运动发生变化（根据狭义相对论）。能量可以增加质量。后来，爱因斯坦还证明了能量也可以增加引力。质量的效应则主要是使时间发生弯曲。
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与此同时，空间也会发生弯曲。宇宙飞船加速时导致光束弯曲的根本原因就是空间弯曲。与时间不同，空间弯曲需要考虑所有三个维度，每个维度上有两个方向，因此爱因斯坦需要考虑的因素又多了六个。此外，他还要综合考虑一些稀奇古怪的东西，例如惯性系拖曳效应（由于相对性效应，运动物体会产生一个垂直于运动方向、强度不大的引力）。爱因斯坦需要考虑的最后一个问题是，引力会产生某种形式的能量（某些物体，如高山上的石头，因为位于引力场的高处而具有势能）。我们已经知道，能量可以产生引力。于是，它们就会形成一个小的反馈回路，引力又摇身一变成了一个引力源。
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与狭义相对论不同，广义相对论使用的是寻常人并不熟悉，甚至永远也不会熟悉的数学知识。事实证明，这些复杂方程的求解极富挑战性。尽管在特例中解这些方程并非难事，但是它们没有一般性解法。麦克斯韦通过求解复杂方程，预测到电磁波这个意想不到的物理实体的存在，这是人们利用数学工具进行类似预测的早期实例。现在，根据广义相对论方程，人们又预测到黑洞的存在。
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黑洞这个概念要追溯至18世纪。当时，英国天文学家约翰·米歇尔发现，如果天体的质量足够大，它的逃逸速度（摆脱该天体引力必须具备的速度）就会非常快，甚至能超过光速，因此光也有可能无法从这种暗星上逃逸。后来，德国物理学家卡尔·史瓦西受到爱因斯坦相对论的影响，重新提出这个概念，那时米歇尔的研究早已被人们遗忘了。
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史瓦西提出这个概念的时间是1916年，当时他正在参加第一次世界大战，而相对论也只发表了几个月。此时，爱因斯坦本人仅仅求得了部分近似解，做出水星轨道是变化的这个可以检验的预测。但是，躲在战壕里的史瓦西却得到了黑洞这个特例的精确解，指出星体耗尽支撑其重量的燃料之后，就会因为无法抵抗自身引力而坍缩，最终变成黑洞。
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但是，史瓦西并没有把他的预测结果称作“黑洞”，这个名词直到20世纪60年代才出现。人们通常认为黑洞这个名称是约翰·惠勒发明的。虽然惠勒肯定是最早使用这个名称的科学家之一，但是第一个想出这个名词的人似乎不是他。1964年1月，在美国科学促进会的一次会议上，有人开始传播这个术语，但这个人不是惠勒。随后，安·尤因在《科学简讯》上发表了一篇介绍这次会议的文章，把这个术语变成了铅字。也就是说，这个名称源自那次会议，但是无法确定发明者。
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无论黑洞这个名称源自何处，我们都知道黑洞从何而来，答案就是数学。在检验科学模型的有效性时，我们往往会考察它能否预测出当初没有被纳入模型的现实世界的情况。因此，爱因斯坦急匆匆地求得方程的部分近似解，并开始预测水星轨道的特点。不久之后，人们利用日食发生的时机，通过观察从太阳旁边经过的星光，证实了相对论关于引力可导致光束弯曲的预测是正确的。但是，在预测黑洞的存在之前，几乎没有人仅利用模型就预测出一个所有人见所未见，甚至想都没想过的物理实体。
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即使是现在，与其说黑洞是科学研究的对象，还不如说它是数学的产物。天文学家在太空深处观察到很多天体，有间接证据表明，从它们表现出来的特点看，这些天体似乎就是黑洞。尽管这些证据有很强的说服力，但所有证据都只是间接证据。我们从来没有直接观察到黑洞，只是借助数学工具推演出我们在银河系中心可能观察到的那些景象（据猜测，银河系中心有一个无比庞大的黑洞）。这里应用的数学绝对位于现实世界的边界线上，似乎与真实世界存在某种关系，但尚未得到证实。有人（例如马克斯·泰格马克）认为，数学与现实之间的联系永远达不到严丝合缝，如果我们可以近距离分析黑洞，就可以证明这些预测都是错误的。
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尽管相对论的证明工作非常重要，但是在此期间，爱因斯坦还投身于物理学的一个新分支——量子物理领域，并在其中发挥了重要作用。量子物理是一个研究微观世界的物理分支，同样具有革命性意义。20世纪初，原子尚未被视为一种确定存在的实体，而只是一个有用的概念性工具，可用于预测物质有哪些特征。但随后，人们不仅证明了原子的确存在（主要是爱因斯坦的功劳），而且发现原子具有一些看似完全违背自然规律的特征。这实在是一个自相矛盾的悖论，因为自然界主要是由这种量子构成的。
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量子物理非常复杂（它研究的是由原子、电子、光子等粒子构成的微观世界），本书不准备对其进行深入讨论，但是量子物理在其发展过程中得出了两个非常重要的观察结果，可以帮助我们了解数学对于宇宙探索的重要意义。爱因斯坦和丹麦物理学家尼尔斯·玻尔等人是最早进入量子物理领域的科学家。他们很快发现，如果从量子的层级来研究宇宙，就必须抛弃很多关于物质和光的特征的假设。例如，人们早就认为光是一种波，这个假设也已经得到了麦克斯韦的证实。但是，在新兴的量子物理研究领域脱颖而出的大咖们告诉人们，所谓的光波特性，不过就是一个模型。光的确具有类似于波的特性，但它也可以被描述成一堆粒子或者场扰动。
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在解释原子中的电子与光的相互作用时，玻尔受行星绕太阳运行的启发，试图把这些电子放入类似的轨道。尽管这个模型早在20世纪20年代就已经过时了，但是我们仍然可以在几乎所有的原子平面结构图中看到它的身影。玻尔很快就发现自己的这个想法行不通，于是他为这些电子设计了多个轨道，让电子可以在不同的轨道之间跳跃，但是不允许它们停留在轨道中间。我们所熟悉的那些看得见、摸得着的“真实”事物不具有这种特征，但是这些量子却表现出这个特点。
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玻尔的原子研究没有多少实用价值，但激起了一些年轻科学家的兴趣，其中最有名的当属沃纳·海森堡和埃尔温·薛定谔。他们决定在简单的玻尔原子模型的基础上，用数学描绘出量子的相互作用。海森堡更加彻底，他提出的矩阵力学利用纯粹的数学方法，描述量子的特点。他根本不考虑借助模型这种直观表示，而是通过操作矩阵（即数组），摇动手柄，使黑箱模型像麦克斯韦电磁波方程组一样，做出一些重要的预测。
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薛定谔不喜欢这种抽象的方法，因此他利用波这种熟悉的形式，考虑如何建立量子行为的模型。时至今日，薛定谔方程对于我们理解量子物理仍然具有非常重要的意义。它同样属于形式十分简单、实质却十分复杂的方程：
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从数学的角度看，这个方程的某些特点足以让你胆战心惊。首先，该方程使用了–1的平方根i。其次，就像爱因斯坦方程中的张量一样，薛定谔方程中的希腊字母Ψ和戴帽子的Η这两个符号都暗藏玄机。Ψ是描述某个系统本质的波函数，表达式非常复杂，而戴帽子的Η指“哈密顿算符”，表示系统中的能量并将其应用到波函数之中。
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