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在解释原子中的电子与光的相互作用时，玻尔受行星绕太阳运行的启发，试图把这些电子放入类似的轨道。尽管这个模型早在20世纪20年代就已经过时了，但是我们仍然可以在几乎所有的原子平面结构图中看到它的身影。玻尔很快就发现自己的这个想法行不通，于是他为这些电子设计了多个轨道，让电子可以在不同的轨道之间跳跃，但是不允许它们停留在轨道中间。我们所熟悉的那些看得见、摸得着的“真实”事物不具有这种特征，但是这些量子却表现出这个特点。
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玻尔的原子研究没有多少实用价值，但激起了一些年轻科学家的兴趣，其中最有名的当属沃纳·海森堡和埃尔温·薛定谔。他们决定在简单的玻尔原子模型的基础上，用数学描绘出量子的相互作用。海森堡更加彻底，他提出的矩阵力学利用纯粹的数学方法，描述量子的特点。他根本不考虑借助模型这种直观表示，而是通过操作矩阵（即数组），摇动手柄，使黑箱模型像麦克斯韦电磁波方程组一样，做出一些重要的预测。
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薛定谔不喜欢这种抽象的方法，因此他利用波这种熟悉的形式，考虑如何建立量子行为的模型。时至今日，薛定谔方程对于我们理解量子物理仍然具有非常重要的意义。它同样属于形式十分简单、实质却十分复杂的方程：
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从数学的角度看，这个方程的某些特点足以让你胆战心惊。首先，该方程使用了–1的平方根i。其次，就像爱因斯坦方程中的张量一样，薛定谔方程中的希腊字母Ψ和戴帽子的Η这两个符号都暗藏玄机。Ψ是描述某个系统本质的波函数，表达式非常复杂，而戴帽子的Η指“哈密顿算符”，表示系统中的能量并将其应用到波函数之中。
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最初，人们以为薛定谔方程中的波函数，或者说该函数值的平方（谢天谢地，终于摆脱了那个让人讨厌的i），表示的是量子在系统中的位置。但是，真如此的话，似乎就可以预言所有量子无时无刻不在扩散，并且越变越大，但是没有实验可以证明这个预测。（谢天谢地，否则我们将身处一个无比奇怪的世界。）再次，人们发现该方程预测的是量子处于某个位置或者系统处于某种状态的概率。
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除了这个方程和令人晕头转向的数学应用，量子理论研究还产出了大量其他成果。例如，将相对论引入量子行为研究的狄拉克方程（它有一个副产品，即预测了反物质的存在），以及在量子理论的基础上发展而成的量子电动力学等。但是，只需要看看海森堡和薛定谔，我们就可以看出科学家在“采撷”数学运算结果而不单纯依靠直接观察的道路上取得了两次重要的突破。
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海森堡在他的矩阵力学中使用了完全数学化的描述方法，薛定谔紧随其后，他的方程把概率纳入其中。爱因斯坦辛辛苦苦地把量子理论带到我们这个世界上，但是在涉及概率之后，他发现在量子这个层级，如果不经过测量，所有的存在都只是一种可能性。例如，如果刚刚没有测量过，就无法确定量子的位置。人们常说，量子在同一时间里的可能位置有两个，但是真实情况似乎更加复杂，展现在人们眼前的是概率织成的一张网。这让爱因斯坦感觉很不舒服，因此他立刻停止了这项研究。
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从本质上讲，量子物理似乎从根本上把现实变成了数学。根据量子理论，如果不是正在测量，关于现实世界的所有观察结果对概率的依赖程度都会很大。乍一看，这与抛硬币似乎没有本质上的不同。在公平的抛硬币游戏中，得到正面与反面的概率通常各占一半。但是，一旦硬币被抛出去，出现某种结果的可能性就是100%，而出现另一种结果的可能性则是0。只不过在硬币落地之前，我们不知道这个结果到底是什么。但是，如果抛出去的是一枚量子硬币，我们得到的就真的只有各占一半的概率，在进行测量并得出结果之前，前面说的那种潜在确定性是不存在的。
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尽管数学概念与真实的量子之间的这种关系似乎不可信，但是多年来已经有大量实验证明了它的真实性。事实证明，“现实世界建立在数学基础之上”的说法属于夸大其词。从某种意义上讲，这个说法已经不像以前那样令人吃惊了。数学仍然是现实的模型，而不是一种绝对的描述。概率与推动现代物理发展的抽象数学不同，它是作为应用数学工具被人们发明出来的。概率源于抛硬币等真实操作的观察结果，只不过在量子物理中，它表现出之前没有的独立性。这并不是说量子就是概率，而是说我们通常只能以概率的形式来描述它们。
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即使在伽利略和牛顿的时代，物理学领域也不时可以看到对称的身影，例如牛顿第三运动定律就描述了一种令人赏心悦目的对称，人们对相对论莫衷一是的态度也形成了一种对称。但是，随着历史的车轮进入20世纪并继续前行，对称展示出新的活力，对科学理论的发展起到显著的推动作用。从此，数学真正地占据了主导地位。
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数学世界的探奇之旅 第14章 诺特：对称之美与隐形恶龙
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科学界和数学界涌现出的伟大女性屈指可数，这不是因为她们在这两个领域的成就比不上男性，而是因为长期以来人们一直认为这两个领域极具挑战性，不适合女性。在这种奇怪观念的影响下，女性被科学和数学拒之门外。如果问20世纪上半叶及之前有哪些女性在数学或科学领域取得过伟大的成就，任何人都有可能提到玛丽·居里、埃达·洛夫莱斯。如果继续追问，他们可能还会提到卡罗琳·赫舍尔，但是他们不大可能说出艾米·诺特。然而，这位德国女数学家仅凭一己之力，就创立了抽象代数理论。具体来讲，诺特明确了对称的重要性。她发现，不仅自然界有大量的对称结构，在很多物理法则的背后也有数学对称的身影。
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如今，在数学的指引下，寻找现实中的匹配对象的研究并不少见。诺特发现对称可以推导出能量守恒定律，她的发现使这个由麦克斯韦开创的方法趋于完美。我们借助模型研究构成宇宙万物的基本粒子，但是这些标准模型并非源于那些别出心裁的实验，例如大型强子对撞机，而是得益于诺特及其追随者的数学推演。事实证明，这种方法在很多方面都取得了显著的成绩，但是有时候你又会觉得整个推演过程似乎走得太远了。
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如果说导致艾米·诺特名声不那么显赫的唯一原因在于她是一位女性，也许会显得有些偏激。但是，如果你请公众随便说出几个20世纪的数学家，他们说出的人可能都是科学家，而不是数学家。实际上，从诺特近期的受关注程度来看，人们很有可能会提到她的名字。但是，鉴于她的研究对物理学的发展具有非常重要的意义，我们有理由相信她的名气应该不亚于薛定谔与海森堡。
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1882年，诺特出生于巴伐利亚，她的父亲是受人尊敬的数学家马克斯·诺特。父母给她起的名字是艾米莉，但是年幼的诺特喜欢称呼自己艾米，并很快让大家接受了她的这个新名字。与很多大数学家、大科学家不同的是，诺特上学时对数学并不感兴趣。她先是取得了语言教师资格，1903年她考入埃尔朗根大学，并于1907年成为德国有史以来第二位女数学博士。
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1909年，诺特在爱因斯坦的挑战者希尔伯特的建议下，来到哥廷根大学。1915年，希尔伯特提议学校授予诺特特许任教资格（在德国申请任教资格需要满足一个独特的条件，即写一篇类似于博士后论文的文章）。但是这个资格只对男性开放，因此希尔伯特及其支持者向政府请愿，希望他们特事特办。最初的请愿遭到了拒绝，直到1919年诺特才获得了特许任教资格，但她始终没有成为一名教授。同众多数学家一样，她最重要的研究成果都是在年轻时完成的。诺特定理（我们马上就会讨论）是她刚到哥廷根大学的时候提出来的。诺特还有一些非常重要的数学发现，但是一旦超出纯粹的数学圈子，这些发现的影响力就比不上诺特定理了。
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1933年，刚刚掌权的纳粹剥夺了诺特的任教资格，终结了她相对平静的教学生活。人们通常认为这件事主要归因于她的犹太血统，但这可能只是其中一个原因。诺特与几名不是犹太人却同样遭到驱逐的同事有一个共同点，那就是她也同情共产党，并且于1928年接受了莫斯科一所大学的客座教授称号。同莫斯科的这种联系更有可能起到导火索的作用，因为她的命运很快就变得坎坷起来。诺特试图回到莫斯科，但是事实证明，在那个动荡不安的年代，她的这个想法很难实现。于是，诺特搬到了美国。1935年，她在美国去世，年仅53岁。
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要理解诺特定理及其对理论物理学家的重要性，我们就必须知道什么是对称，对称为什么会产生这些重要的结果，这种方法对数学和现实之间的关系有哪些拓展作用。在日常英语中，我们所说的对称是指反射对称，也就是镜像对称。很多生物身上都存在这种对称。如果有机体有“左”、“右”两侧，我们就知道它们是镜像对称。实际上，这种对称性在人类对美的理解中占十分重要的地位。
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对美的判断标准可能因人而异，但是我们通常都会根据某些特点来判断一个人的外表是否美丽，对称是其中最重要的标准之一。多次测试的结果表明，人类通常觉得对称的脸比不对称的脸更吸引人（奇怪的是，鸡也有同样的特点）。人们认为，这可能是因为显著的不对称往往是疾病导致的。如果美的主要作用是帮助吸引潜在配偶，缺失对称性就可能意味着生殖能力的降低。对对称美的追求因此成为一种进化特征。
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除了简单的镜像对称，数学家还发现了各种各样的对称。一般而言，如果某个物体发生某种变化之后没有出现可以辨别的不同，我们就说这个物体是对称的。比如，对于左右镜像对称，我们可以将镜像的左右两边对调，得到的镜像没有任何变化。借助简单图形，我们可以更方便地理解对称。将矩形或正方形的左半边与右半边对调，将会得到无法区分的镜像结果。