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说到这里，该哲学家卡尔·波普尔登场了。在当今科学界的权威人士眼中，波普尔似乎已经过时了。这是因为波普尔对科学本质的看法非常极端，公开宣称在科学研究中不应该使用归纳推理的方法。我们在根据已有的不完整观察结果做出各种预测时，使用的工具就是归纳推理。例如，我们推断光速是恒定的，因为根据我们的长期观察，光的传播速度都是恒定的。波普尔称，这个理由并不充分，因为说不定明天光速就会发生变化。没有归纳推理的话，科研几乎寸步难行。因此，波普尔的这个观点显然不切实际。但是，这并不意味着根据他的另一个观点总结出来的简化理论不可靠。
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波普尔认为，任何科学理论都必须可以通过观察予以驳斥。反对波普尔的人通常认为，如果科学理论被任何观察证伪，我们通常就会拒绝接受这些理论，因此我们在应用波普尔的这个研究成果时必须非常谨慎，知道在什么时候、什么情况下才可以摒弃某个理论。波普尔的证伪机制在应用时显然要受到某些限制。在提出正式的质疑之前，我们必须认真检查，还需要重复证伪的过程。尽管如此，我们仍然有足够的理由断言，我们还是需要对付所谓的“隐形恶龙”，而且很多依据纯粹数学推导得出的现代物理学理论都难逃这个命运。
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从隐形恶龙说可以看出科学必须接受波普尔原则的检验。设想某人说“我的车库里有隐形恶龙”，然后请科学家核实这句话。科学家肯定看不见这些恶龙，触摸的方法也不能用，因为触摸恶龙会有危险。此外，恶龙可以飞翔，躲开科学家的触摸。也许科学家可以把面粉撒到地上，以便寻找恶龙的脚印。但是，这个人说，他车库里的恶龙非常特殊，都没有质量，也就是说，它们不会留下脚印。于是，科学家打算使用红外探测仪。但是，这个人又说，恶龙有非常好的热绝缘性。于是，科学家又打算探测恶龙移动时引起的空气振动，但是这个人说恶龙都是通过量子隧穿移动的，根本不会扰动空气。
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由于没有办法观测到这些隐形恶龙，所以用科学的手段不可能发现这些恶龙。但是，这并不意味着这些恶龙不存在。恶龙有可能真的存在，而且它们有能力逃避所有的侦测手段。我们既不可能通过观察证明这些恶龙不存在，也没有办法对其进行科学研究。即使这个人可以创建出简明有效的数学工具，并证明他的车库里应该有隐形恶龙，情况也不会改观。
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也许我们会感到奇怪，为什么波普尔要求理论可以被驳斥呢？在上面的例子中，那个人希望证明自己家的车库里有恶龙。但是，只有反面证据才具有确定性。即使在车库里找到爪痕，也不能确定它们就是恶龙留下的。那个人可以趁科学家不在场的时候，伪造出这些爪痕。但是，如果恶龙存在说提出了一个可以验证的预言，验证结果表明这个预言绝对是错误的，我们就可以判断恶龙存在说是不正确的。也就是说，除非结合失败的预言对理论进行修改，否则这个理论就是不正确的。真正的科学经常会遭遇预言失败的情况，因此，波普尔的这个方法在实际应用中有时会遭遇困难。然而，这些困难无法抹杀它的价值。
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科学常常无法提供证据。“事实”不足为凭，我们需要的是“证据确凿的理论”。黑天鹅就是人们经常援引的一个例子。在几百年时间里，欧洲人一直认为世界上只有白天鹅，因为人们观察到的所有天鹅都是白色的，也就是说，所有证据都支持“所有天鹅都是白色的”这个说法。但是，这个证明并不科学。的确，我们看到的所有天鹅都是白色的，但是这个事实无法证明所有的天鹅都是白色的。如果有人从澳大利亚带回一只黑天鹅，就可以证明“所有天鹅都是白色的”这个说法绝对是错误的。（至少，我们需要换一种更加严谨的说法：“欧洲所有的天鹅都是白色的。”）
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同样道理，认真研究宇宙大爆炸理论，就会发现我们永远无法证明这是宇宙起源的精准模型。但是，我们有可能轻松地找到证据，证明这个理论是不正确的。自20世纪50年代以来，这样的证据就出现过好多次，宇宙学家只好结合这些新证据，修改并不断完善大爆炸理论。（天体物理学家弗雷德·霍伊尔觉得非常委屈，他认为自己的稳恒态理论从未得到同样的机会。此外，他还通过巧妙的证明向世人表明，他可以通过修正让这套理论与新数据高度吻合。）目前，大爆炸理论在几个问题上与数据的吻合程度非常高，但是，它随时可能被证明是错误的。也就是说，大爆炸理论经过了波普尔简化理论的检验。
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对于那些通过层层叠加数学内容的方式构建而成、与现实之间联系不紧密的理论，情况就不一样了。按照波普尔简化理论的标准，弦论还不是（或许永远也不会是）得到普遍认可的科学理论。但是，这并不意味着弦论就没有研究价值。通过研究，人们有可能发现该理论的某些预言可以帮助我们完成证伪工作。尽管数百名科学家已经努力了几十年，但是以弦论目前的发展状态来看，人们仍然没有办法驳斥它。我们有理由认为弦论这个名称不是很合适，至多可以称之为“弦假设”。理论必须是可以检验的，而假设只是一种想法，不需要通过严谨的步骤来证明。
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我们可以通过文字游戏，建立一个无法用波普尔简化理论来检验的科学理论。如果把上例中的天鹅理论改成“存在黑天鹅”，我们就没有办法证明它是错误的了。但是，如果我拿出一只黑天鹅，就可以证明这条理论是正确的。这个事实说明这条理论非常简单，只有非常简单的概念才可以使用这种正话反说的办法。在这种情况下，我只需要检验某个命题是否有效，而且通过直接观察就可以达到这个目标。但是，进入粒子物理、宇宙学等领域之后，所有的证据都是间接证据。因为没有办法直接接触、做实验，所以我们没有办法证明某个事物真的存在。（例如，寻找希格斯玻色子的工作就具有这个特点。）在这种情况下，一个理论必须可以被证明有误这个标准具有非常重要的意义。
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为了应对人们怀疑弦论割裂了数学与现实之间联系的喋喋不休的指摘，弦论研究者辩解称多余的维度都蜷缩到我们看不见的程度。但是，这个说法无法解决结果过多的问题。数学是不是终于发展到了过于偏离现实的地步？科学的目的是帮助我们理解、解释宇宙的运行规律，但科学是否已经忘记了它的“初心”呢？
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数学世界的探奇之旅 [:1701011757]
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数学世界的探奇之旅 第15章 数学的力量？
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我们对数学与现实之间关系的探讨已经接近尾声，现在，我们不可避免地要提到一个现象。有人认为，至少物理学领域目前正处于本末倒置的状态——数学占据了主导地位，长此以往，很容易导致令人不安的后果，即科学家的研究将越来越难以被普通人理解。
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物理学家尤金·维格纳讲过一个故事。两名昔日中学好友在一起聊天，其中一个人是统计学家，正在自豪地介绍自己的工作。他拿出一篇介绍人口变化规律的论文，然后告诉他的朋友，根据某种分布类型（高斯分布）可以预测人口将发生哪些变化。在这个过程中，他不可避免地要解释这篇论文里出现的大量晦涩难懂的数学符号。
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朋友认为统计学家在论文里描绘的那幅图其实是一堆抽象数字的直观表示，对此他产生了怀疑：怎么能用这幅图来预测一群人，一群活生生的、有自己想法的个体的行为呢？但是，他发现这些数学符号中还隐藏着更加令人难以置信的东西。他指着论文中的一个符号，询问它的含义。统计学家说：“这是π。你应该知道π的含义，就是圆的周长与直径之比。”朋友摇了摇头：“原来你真的在捉弄我。人口怎么可能与圆的周长有关呢？”
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维格纳是在一个讲座的开场部分讲述了这个故事的，目的是解释“数学在自然科学中不可思议的有效性”。他认为，这种不可思议的有效性表现在两个方面。第一，数学可以出人意料地应用于某些看似不相关的领域（例如，在研究人类行为时，π的出现就会令人感到奇怪）。第二，我们不能因为这些数学概念具有相同的规律，就断言这些数学概念与现实之间存在某种联系。这可能只是一种巧合，而我们在实验时正好碰上，因此效果不错。但是等到明天，或者当我们将它应用于另一种情况时，它也许就不适用了。
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现在，我们可以回过头来看看数学的诞生过程。在本书前几章里我告诉大家，数字在刚开始的时候是用来表示实物的。最初，数字可能与计算山羊数量的手指相匹配，然后又与计算其他事物数量的手指相匹配，这可能是数字的第一个抽象化过程。接着，数字进一步抽象化，变成了表示手指的符号。然而，在这个阶段，数字与实物之间的关系仍然非常清楚、直接。随着数学的发展，负数使数学与现实之间的关系渐渐疏远（负数就相当于从整体中取走的物体的数量），随后数学领域又引入了虚数、等数字。维格纳说：
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大多数更高层次的数学概念……被精心设计出来，这是因为这些数学概念是数学家展示自己的创造力和对形式美的品鉴能力的理想平台。
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我们看到数学家正在不断突破可能性的限制，尽可能地拓展数学的应用领域，提出了一系列在逻辑上不会产生冲突的概念。即使搭建而成的完整结构在现实世界中没有实用价值，也找不到与之匹配的对象，他们也乐此不疲。与此同时，他们还为自己的所作所为感到震惊、困惑。之所以有这种感觉，是因为这些数学家（他们也是凡人）在创造一个个小世界，并取得数量众多而且和谐统一的成果（尽管有时候需要修改规则，例如将1从素数集中剔除）。与此同时，这个过程也会让外行人感到困惑，因为他们认为有的成果除了可以用来炫耀自己的智商以外毫无意义，却仍然有人愿意耗费时间和精力，从事这方面的研究。
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但是，纯粹以实用性来引领研究方向是不切实际的，科学研究如此，数学也如此。我们必须赋予数学家做实验的自由，因为我们不知道数学上含混不清的辩解之词何时会变成实用的工具。这个特点让那些政客以及负责为科学和数学拨付研究资金的其他局外人感到特别为难，他们觉得自己划拨的那些钱款似乎是供人“玩乐”的。如果拨款对象从事的是纯粹的数学研究，就等于为他们研究那些不切实际的抽象概念买单。但是，我们根本不知道这些概念什么时候会发挥作用。
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数学家和科学家就像收藏家一样，他们如饥似渴地把那些看似无用的东西收藏起来，希望有一天这些东西会变成无价之宝。一旦如此，它们就会产生深远的影响。20世纪初，数学界以外的人几乎都不清楚非欧几何的发展前景——当然，爱因斯坦不在此列。除了可以在地球的弯曲表面上确定航行方向以外，非欧几何似乎与现实没有任何联系。但是，爱因斯坦创立的广义相对论却离不开它。
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数学家在研究数学时无拘无束，根本不需要考虑其是否与现实有关。实用价值不应该成为评判数学研究的基本标准，就像我们不能根据载人飞船太空探索的副产品（为把人类送入太空所投入的智力和财力给社会带来的额外好处）的多少来评判这项活动一样。在这些副产品中，有的是实实在在的好处，但影响力通常比较小，有的则是不合逻辑的建议。人们常常罗列出GPS（全球定位系统）、气象卫星、空间望远镜等，作为支持载人航天活动的理由。但是，实际上，无须花费大量财力，以及执行各种危险的太空任务，人们也可以得到这些副产品。