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我们看到数学家正在不断突破可能性的限制，尽可能地拓展数学的应用领域，提出了一系列在逻辑上不会产生冲突的概念。即使搭建而成的完整结构在现实世界中没有实用价值，也找不到与之匹配的对象，他们也乐此不疲。与此同时，他们还为自己的所作所为感到震惊、困惑。之所以有这种感觉，是因为这些数学家（他们也是凡人）在创造一个个小世界，并取得数量众多而且和谐统一的成果（尽管有时候需要修改规则，例如将1从素数集中剔除）。与此同时，这个过程也会让外行人感到困惑，因为他们认为有的成果除了可以用来炫耀自己的智商以外毫无意义，却仍然有人愿意耗费时间和精力，从事这方面的研究。
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但是，纯粹以实用性来引领研究方向是不切实际的，科学研究如此，数学也如此。我们必须赋予数学家做实验的自由，因为我们不知道数学上含混不清的辩解之词何时会变成实用的工具。这个特点让那些政客以及负责为科学和数学拨付研究资金的其他局外人感到特别为难，他们觉得自己划拨的那些钱款似乎是供人“玩乐”的。如果拨款对象从事的是纯粹的数学研究，就等于为他们研究那些不切实际的抽象概念买单。但是，我们根本不知道这些概念什么时候会发挥作用。
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数学家和科学家就像收藏家一样，他们如饥似渴地把那些看似无用的东西收藏起来，希望有一天这些东西会变成无价之宝。一旦如此，它们就会产生深远的影响。20世纪初，数学界以外的人几乎都不清楚非欧几何的发展前景——当然，爱因斯坦不在此列。除了可以在地球的弯曲表面上确定航行方向以外，非欧几何似乎与现实没有任何联系。但是，爱因斯坦创立的广义相对论却离不开它。
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数学家在研究数学时无拘无束，根本不需要考虑其是否与现实有关。实用价值不应该成为评判数学研究的基本标准，就像我们不能根据载人飞船太空探索的副产品（为把人类送入太空所投入的智力和财力给社会带来的额外好处）的多少来评判这项活动一样。在这些副产品中，有的是实实在在的好处，但影响力通常比较小，有的则是不合逻辑的建议。人们常常罗列出GPS（全球定位系统）、气象卫星、空间望远镜等，作为支持载人航天活动的理由。但是，实际上，无须花费大量财力，以及执行各种危险的太空任务，人们也可以得到这些副产品。
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不仅如此，根据副产品多少进行评判有时候还会得出彻头彻尾的错误结论。我曾经看过，有人认为广泛用于煎锅、水管、尼龙搭扣、个人计算机等方面的不粘材料聚四氟乙烯要归功于美国国家航空航天局。事实上，前两项应用完全是普通研发工作的成果，只不过在几十年之后，美国国家航空航天局碰巧应用了这两项成果。美国国家航空航天局的确想减小计算机的体积，以便将它装进太空舱中，但是个人计算机发展的最大动力绝对不是美国国家航空航天局的需要，而是潜在的大规模市场。就效果而言，大规模市场的推动力远远大于小规模的专业应用。因此，我们必须忘掉这些副产品带来的“好处”，专心致志地考虑载人航天飞行的真正目的：它既是一项光荣的冒险活动，又有可能为人类带来生机。
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与之类似，在评判数学家的抽象数学研究时，我们也可以列举出纯粹数学在应用方面的诸多“副产品”，但是大多数数学家从事相关研究却另有目的。过于关注实用价值，可能不利于取得重大突破。数学家希望迎接挑战，乐于享受在精神世界建功立业的乐趣。但是，物理学家通常会受到现实的羁绊，无法在梦想的国度里长时间地遨游。理论上，我们好像也可以创立一门专门研究纯理论的“异种物理学”（或许真的有这样的物理学，但是我电脑上的拼写检查程序却认为这个单词不存在）。事实上，物理学使用的很多模型都非常简单，与现实之间几乎没有多少相似之处，但是物理学研究的目的是预测并解释自然界的各种行为。在借山羊时，人们会用手指表示山羊的数量。同样，研究自然的物理学也不能脱离与自然的联系。
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想要更好地理解物理学的研究内容，必须先了解模型的概念。只要有机会，我就会讲述一个在科学家群体中流传的古老笑话，从中一方面可以清楚地看出科学模型的本质，另一方面可以看到内行人和外行人对科学的不同理解。听到这个笑话后，外行人的反应最多是礼貌地一笑了之。笑话涉及的三个人分别是遗传学家、营养学家和物理学家，他们正在讨论赛马的培育方法。遗传学家说：“我们必须根据马的特性选择合适的马匹开展育种工作，多代之后才能培育出最优秀的赛马。”营养学家听后说道：“不对，更重要的是看马在成长过程中营养是否均衡，能否增强肌肉。”物理学家听后摇摇头说：“我们可以假设赛马是一个球面。”
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简单化的模型的确可能引人发笑，但其中并不是没有道理可言。上学期间，我一看到物理题目中出现“假设没有摩擦力和空气阻力”就感到十分生气，觉得他们在骗我，因为摩擦力和空气阻力肯定存在。既然可以这样假设，那么我们也可以“假设我知道正确答案”啊！然而，这也说明了一个事实：数学家在数学世界中拥有至高无上的控制权，而物理学家必须更注重实际。我们以身体为例。物理学在研究这个我们都非常熟悉的对象时，必须使它简单化，而不是研究一个个原子。原子是量子，具有概率特性，而且原子的数量非常庞大，我们身体里大约有1027个原子。任何人都不可能合理地预测每个原子的行为，因此我们只能将所有原子视为一个整体，并在此基础上建立模型。
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鉴于我们周围的世界无比繁复，物理学竟然可以做出各种预测，这实在是一件匪夷所思的事。但是物理学真的做到了，其主要手段就是建立简单化的数学模型。在理论上，这些模型不一定真的有用。但是，我们发现宇宙万物之间具有某种协调性，从而为物理学家提供了某种帮助。如果被我们视为基本常数的值（例如光速）不断变化，物理学就会遭受灭顶之灾。所有的物理系统都会受到灾难性的打击，我们甚至也无法预测任何事物的发展趋势，因为事物发展将表现出一种茫然无序的情况。
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我们通常认为，地球上的规律同样适用于其他地方，但现实似乎并非如此。比如，我们知道物体在月球上比在地球上轻得多。因此，机器在月球上的性能也会大不相同。但是，牛顿的一个伟大创新就是大胆地假设引力是一个普遍现象，他认为月球上的引力作用与地球上的一模一样。截至目前，除了几个可能的例外情况，这个假设似乎并无不妥之处。我们无法证明这是一个事实，但是，如果我们不做出这样的假设，科学研究的所有努力都将毫无意义。
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值得庆幸的是，很长时间以来，这种假设经受住了考验，这就意味着我们可以利用数学模型来研究现实，并且有可能取得令人吃惊的成功。在这个过程中，我们常使用不变性原理（简而言之，不变性原理认为我们建立的物理“定律”适用于所有时空）。
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尽管科学的不变性不受实验操作者的影响（实验者的性别、年龄或种族不会影响实验结果），但并不是所有“实验”在完成质量上都是相同的，因为实验者采取的控制措施各不相同。然而，其中的道理并不十分明显。那些热衷于顺势疗法，或者认为自己对电磁辐射敏感，或者相信自己能看见鬼魂的人有时迷惑不解，原因就在于此。科研人员通常会花大力气将某个现象分离出来，以便从这个现象中提取数据时不会受到外界因素的影响。这在实验室环境中是可以做到的，但是一旦离开实验室，效果就会大打折扣。
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比如，2014—2015年第二代宇宙泛星系偏振背景成像微波望远镜的发现，一度被视为引力波，但是后来人们发现那些数据其实受到了银河系中尘埃的影响。任何天文学和宇宙学观测都有可能受到意料之外的干扰，我们的日常体验亦如此。科学界有一句老话：“传闻再多，也不是数据。”即使我们有某种亲身经历，也不意味着大脑对这些经历的解读就是有效的科学模型。即使我采取顺势疗法之后感觉很好，我也无法判定自己是在这个疗法的帮助下恢复健康的，因为我没有合适的比较标准。我感觉不错的原因可能有很多种。最有可能的原因是我的健康状况真的有所好转，也有可能只是我的感觉很好，但身体状况并没有真正得到改善。也就是说，我们必须清醒地认识到，不变性假设并不意味着我们可以把道听途说当作科学证据。
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尤金·维格纳指出：“自然律只在特殊条件下，即世界现状的所有相关决定因素均为已知时，才能用于预测未来。”一般而言，这个条件永远无法实现。我们无从了解我们所面对的所有条件，因此我们只能依赖假设和简单化处理。这样一来，我们使用的模型与现实越来越脱节，得出不正确结果的可能性也越来越高。
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即便如此，我们仍然可以看到，在某些领域，研究人员没有依靠与现实相匹配的模型，而是借助抽象数学做出了与现实吻合的预测，从而证明数学是一个效果惊人的工具。维格纳以兰姆移位（原子中两个电子能级之间的微小差别，这一发现推动了量子电动力学的发展）为例，说明了这个问题：“由贝特提出、施温格创建的兰姆移位量子理论是一个纯粹的数学理论，它唯一的直接贡献就是证明存在某种可测量的效应。事实表明，实验结果与理论计算的吻合程度超过千分之一。”
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尽管这些方法取得了成功，但这并不能保证这些模型一定可以发挥作用。建立模型时，我们总会依赖自己的经验。比如，在研究物理学的两大支柱——始于20世纪的量子论和相对论时，人们依赖于两种不同的数学结构，但是这两种结构无法融合。几乎所有的物理学家都认为肯定有办法让它们融为一体——要么修改其中一个理论，使其适合另一个理论的数学结构，要么设计出同时适用于两大理论的新结构。但是，现有模型很有可能就是效果最好的可行模型，而且它们永远无法实现融合，“万能理论”也永远不会出现。
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我们并不一定非得建立一个可身兼数职的普适型数学系统。尽管有人会提出相反的观点，但我仍然认为宇宙的本质不是数学。只不过，某些（并不是大多数）数学内容的基础是现实世界的观察结果。实际上，数学是一个功能强大的工具，可以帮助我们建立宇宙模型，而模型一定有其局限性。在这里，我要再次引用维格纳的话：“我们根本不知道我们的理论为什么如此有效，因此，它们的精确性并不能证明它们的真实性与一致性。”维格纳有力地指出，即使基于数学的理论可以做出有效的预测，也不一定意味着它具有某种价值。
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这个观点似乎非常奇怪。既然数学可以有效地预测未来，为什么否认它是现实世界的精确表达呢？原因在于我们已经发现的一个事实：几乎所有的物理学内容都离不开大量的简单化处理与假设。在我们建立模型时，宇宙黑箱里真实存在的很多元素都有可能被我们忽略。举一个非常简单的例子，下面是一个预测明天早晨太阳是否会升起的计算机程序：
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如果年份<3000
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输出“太阳将会升起”
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否则
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输出“太阳不会升起”
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结束
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这其实是一个数学模型，但大多数人更熟悉计算机程序的逻辑结构，而不熟悉数学的符号结构。我可以告诉大家，在公元3000年之前，这个模型的预测结果都不会有任何错误，但是到了公元3000年，它就会出错（我希望如此）。你也许会说，我输入的具体日期与现实之间没有任何联系。但是，从一定意义上说，这就是我举这个例子的目的所在。我们也不知道自己输入科学模型中的那些常数、公式是否与现实有关联，我们只知道其预测结果与我们观察到的现实非常吻合。但是，这些模型的内容与现实之间的联系，不一定比我编写的那个高度精确但是毫无价值的计算机程序与现实之间的联系更紧密。
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本书谈到了很多了不起的数学家所提出的崭新的、有影响力的数学概念，其中一些概念是作为纯粹数学的推论被提出来的。例如，16世纪，吉罗拉莫·卡尔达诺提出了虚数的设想，当时他并没有考虑虚数会有什么实用价值。但是，在科学家和工程师的手里，虚数变成了一个功能强大的工具。数学家抱着开发一个新的实用方法的目的，有意识地开发出一种数学方法的情况并不多见，其中最显而易见的例子就是微积分的前身——牛顿的流数术。
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