1701013915
1701013916
关于这个定义，人们有各种不同的理解、补充、修改。例如，钱学森在《关于思维科学》一书中，把数学和哲学并列，认为数学是在社会科学和自然科学之上的一门学问。有人对数学来源于现实世界有不同的看法。比如，“哥德巴赫猜想”来源于现实世界的哪一部分？很难说得清楚。记得1958年，武汉大学的齐民友先生写过《竹子的哲学》一文，文中认为数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年之后，竹子开花，枯萎而死（陈旧的数学被淘汰），却留下种子，重回大地，并另生春笋破土而出（新数学的萌芽）。这一比喻，非常形象。但在当时，它是作为反对数学来源于实践的“反面教材”发表的。更多的数学家认为，现代数学的发展，已经超出“数”和“形”的范围，应当包括结构、范畴、模型等更广的对象。不过，只要把数和形作广义的理解，大概也就可以了。
1701013917
1701013918
无论如何，《中国大百科全书·数学》上的这一定义，还是目前普遍接受的关于“什么是数学”的答案。
1701013919
1701013920
关于数学的特点，一般都沿用苏联亚历山大洛夫（A.D.Aleksandrov）的“三性”提法：抽象性、严谨性、广泛应用性。这一提法有合理的成分，但产生的实际效果却在很大程度上被异化了。一提数学，首先就是抽象，使数学远离人们的实际经验和日常生活，吓人一跳。其实，数学的抽象在于它的对象：形式化的思想材料。而这些材料仍然可以溯源于经验世界，不必过于强调其抽象之难。至于严谨性，和逻辑联系在一起，使数学成为一门相对精确的科学。但是，过分地强调严谨性，把数学等同于逻辑，把生动活泼的数学思想淹没在形式演绎的海洋里，实在是歪曲了数学的本质。至于“广泛应用性”，乃是抽象性的推论，几乎没有新的论述。因为数学的抽象，虽然什么都挨不上，可又什么都挨得上，于是到处都可以用数学，数学的广泛应用性也就成立了。
1701013921
1701013922
这样的论述引申到中学数学教育上，便是绝口不提数学的应用。数学高考，相当长时间不涉及应用题，学生视应用题为畏途，连教师也觉得头痛。到了这一步，数学除了“思维的体操”之外，再也没有什么可谈的了。于是，数学教育变成解考题教育，数学教学的目的是通过考试，数学教师成了解题机器，解数学难题成了数学杂技。只要躲在抽象性、严谨性的口号下，什么联系实际、数学为国家建设服务、培养用数学分析和解决实际问题的能力，便统统不必过问了。
1701013923
1701013924
问题出在“数学观”已经跟不上时代要求。长期以来，数学的含义只包括“纯粹数学”。《中国大百科全书·数学》中的数学定义，亚历山大洛夫的“三性”都是从纯粹数学的意义上来说的。不过，今天的数学，已经不再仅限于纯粹数学，而是渗透到社会生活的每个角落，成为能够立即转化为生产力的一门技术。每一种高科技的背后，都离不开数学的支持。电视卫星的姿态和定点控制必须用数学计算得分毫不差。数字电视主要依靠信息压缩的数学技术。头顶呼啸而过的飞机的制造和飞行，是用数学方法加以计算和控制的。与人的健康紧密相关的CT扫描，其基本原理竟是一条数学定理——拉东逆变换公式。信息时代的国家机密正是通过数论才得以在通信过程中保持安全。庞大的世界经济正在由成千上万个未知数的微分方程组进行模拟和计算。北京大学数学系毕业的王选院士用数学技术推动了“印刷革命”。
1701013925
1701013926
当我们在尽情享受数学文明的时候，如何认识当今的数学呢？要说明这一点，可以在理论上展开，从社会、哲学、科学的角度详加分析。但是，这也许太复杂了。还是让我们看几段讲话吧。
1701013927
1701013928
钱学森讲话
1701013929
1701013930
1989年8月18日，钱学森（图1.1.1）在中国数学会“数学教育与科研”座谈会上发言，提到了“数学技术”，全文发表于《中国数学会通讯》1989年第4期。现将有关的段落摘引于此（为使语气连贯，有一些文字上的改动）：
1701013931
1701013932
1701013933
1701013934
1701013935
◀ 图1.1.1 钱学森
1701013936
1701013937
“在理科、工科的实际工作中，现在不是用手算，而是用电子计算机去算，去求解。数学的基础理论有了，工程技术的具体问题在这儿，中间怎么过去？不是靠手算了，是靠电子计算机。也就是说，从自然科学的理论出发，用电子计算机能得到具体工程技术问题的解答。那么谁来做这些中间的工作呢？在美国成立了一些新学术组织，如工业数学与应用数学协会（Society of lndustrial and Applied Mathematics（SIAM）），国际工业数学和应用数学大会（International Congress of Industrial and Applied Mathematics（ICIAM））。他们都离开了老的领域，而利用计算机来工作。谢定裕教授把这称为‘数学科技’，我想不叫‘数学科技’，而叫‘数学技术’。它要求数学给一个方法，能用科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题。这包括两个方面：第一是要会用计算机，会指挥它去算；第二是对电子计算机给出的解答，通过荧光屏的显示，能够理解它，别让它给唬住了。上百年的这套老东西脱离实际太远了。今天的实际要求学生学会两条：一要会用电子计算机，二要能理解计算机给出的答案。”
1701013938
1701013939
国际数学联盟主席芒福特（D.Mumford）答记者问
1701013940
1701013941
1995年5月，国际数学联盟（IMU）在巴黎举行执委会会议。有记者问：“您个人认为21世纪数学将面临怎样的挑战？”芒福特（图1.1.2）的回答是：
1701013942
1701013943
“啊！这可真是一个重大问题，人们需要坐下来，长时间地思考这个问题。我个人感觉到，一个十分重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流。在19世纪，您可以看到大多数数学家都是身兼二职，例如傅里叶（Fourier）发现和研究级数，就是受了应用的刺激。但以后产生了分隔，尤其是在美国。我想其他国家在某种程度上也是如此。我希望当前对科学用处的普遍强调（这有利于公众对科学的投资），将不至于简单地花很多钱去搞纯粹数学研究，而是相反，应当引向一个共同目标，使得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发，运用他们的理论思想更有效地解决实际应用问题……我坚信数学教育应当很认真地努力，从思想上重视实际应用。”
1701013944
1701013945
1701013946
1701013947
1701013948
◀ 图1.1.2 芒福特
1701013949
1701013950
值得注意的是：芒福特本人是一位纯粹数学家，1937年出生，美国哈佛大学教授。其研究方向是代数曲面，1974年获得世界数学家最高奖——菲尔兹奖章，2008年又荣获代表数学家终身成就的另一个世界大奖——沃尔夫奖。一位研究纯粹数学的名家发表上述谈话，更是意味深长。
1701013951
1701013952
姜伯驹院士在教育部数学与力学教学指导委员会上的讲话
1701013953
1701013954
姜伯驹院士（图1.1.3）是北京大学教授，专长拓扑学，在不动点类理论上有独特贡献，获第三世界科学院颁发的数学奖。他曾是教育部的数学与力学教学指导委员会主任。1996年5月，他发表讲话，作为一个纯粹数学家，同样呼吁数学应用（原文见《中国数学会通讯》1996年第9期，这里摘引其中的一段，做了少量删节）。
1701013955
1701013956
1701013957
1701013958
1701013959
▶ 图1.1.3 姜伯驹
1701013960
1701013961
我做学生的时候，老师讲数学的重要性，就是两句话：数学是思想的体操，数学是科学的语言。数学要通过其他科学发挥作用。但是，现在数学已不必通过别的学科，而直接发挥作用了。很多高精尖的东西根本上取决于数学模型。数学已经走到前列了。我们常常听到出国留学人员的一种反映，说工科学生到国外听课，一个拦路虎就是数学。近几年听到文科学生，不仅是学经济的，甚至学政治学、社会学这样的学科，在国外都在数学上碰到很大的困难。因此，‘数学是生活的需要’，而不只是前面所说的两句话了。我觉得，许多事情，特别是有竞争的地方，数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好，你就赢了。20世纪下半叶数学有很大的发展，其中最大的一个发展是应用。
1701013962
1701013963
这三段讲话，表明我们的数学观应该有所更新了。纯粹数学的定义仍然有效，不过要有更宽泛的理解；如果加上应用数学的内涵，就会对21世纪的数学有新的认识。
1701013964