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数学文化教程 第二章 数学是人类文明的火车头
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数学的历史和人类的历史一样长。历史是一面镜子，它可以找到我们的根，看到我们的传统，折射出前进的方向。
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“春江水暖鸭先知。”重大人类文明的先兆，往往是数学。印度科学家拉奥（A.N.Rao）认为，一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来衡量。历史表明，世界的军事经济强国一定是数学强国。时至今日，美国数学一马当先。冷战时代社会主义阵营的领袖苏联，曾占据世界数学的半壁江山。西欧数学紧随其后，日本数学正在迎头赶上。中国数学，还是一个未知数。但是已经提出了目标：21世纪数学大国。
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这一章，我们将简述世界数学的历史。
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数学文化教程 第一节 数学是人类文明的火车头——简述四个数学高峰
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古希腊文明以倡导公理化的《几何原本》的理性精神作为人类文明的代表。在17世纪人类科学文明的黄金时代，牛顿创立微积分、发展力学，无疑是那个时代的科学巨人。19世纪末和20世纪初，爱因斯坦是那个时代的高峰，但是他的理论框架依赖数学。第二次世界大战之后，人类社会进入信息时代，其科学代表人物冯·诺依曼，则是一位基于纯粹数学的计算机科学家。
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这四个人类文明的时代，正是数学发展的四个高峰。因此可以说，数学是人类文明进步的火车头。
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第一个高峰：古希腊的演绎数学时期
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数学的起源可以追溯到上古时期，尼罗河文明、两河流域文明、印度文明和华夏文明都作出过杰出的贡献。但是作为科学形态的数学，还是以古希腊的演绎数学为高峰。它的意义也不仅在数学，而是人类“理性思维”的第一个重大胜利。欧几里得的《几何原本》成为影响人类文明进程的里程碑。几何公理化体系的思想，成为所有科学追求的一种境界。《几何原本》是仅次于圣经的印刷数量最多的作品。
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同样，《九章算术》确立了中国古代数学的算法体系，也是中国古代科学文明的代表作。
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第二个高峰：牛顿-莱布尼茨的微积分时期
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文艺复兴时期，虽然回到古希腊文明，欧几里得、阿基米德等大数学家的光辉驱走了中世纪的黑暗。但是，公理化思想推不出微积分。牛顿和莱布尼茨是在古希腊的“穷竭法”“求抛物线弓形面积”等思想的启发下，焕发了新的科学活力。17—18世纪，可以说是一个数学力量所向披靡的时代。尽管“无穷小”思想被贝克莱大主教斥责为“逝去了量的鬼魂”，很不严格。可是实践证明了微积分算法的巨大威力。在力学、光学、工程技术领域获得的成功确立了微积分的划时代的历史地位。以后的欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等大家的贡献，再次推动人类文明进入了一个新阶段。
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第三个高峰：希尔伯特为代表的形式主义公理化时期
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大约在19世纪中叶，非欧几何的出现、抽象群论的诞生，特别是微积分的严格化过程，使数学进入一个新的时期。理性思维、严密证明成为数学时尚。德国格丁根学派的代表人物希尔伯特（David Hilbert，1862—1943），在1898年发表《几何基础》，把欧几里得的《几何原本》完全地严密化。此后便一发不可收，形式主义和逻辑主义的思潮占据了数学领域的主导地位。抽象和严密成为新的时尚。希尔伯特希望把数学建立在一个“相容的、独立的、完全的”公理体系之上，一劳永逸地树立数学的真理性。这一努力最后失败了，但也创立了一门叫做“数学基础”的学科。另一方面，数学大量地用于各个科学领域，例如影响人类文明进程的电磁学，其基本架构乃是一组微分方程。作为这一时期物理学思想革命的相对论，则建立在黎曼几何的框架上。
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第四个高峰：以计算机技术为标志的新数学时期
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自1946年第一台电子计算机（ENIAC）问世以来，以冯·诺依曼为代表的一批数学家参与计算机的研制，又一次为人类文明的进步做出最基础的贡献。与此同时，数学本身也受到计算机技术的推动，进入了崭新的时期。1948年，维纳的控制论、仙农的信息论相继问世，开创了新的局面。此后，数学大举“入侵”各个学科领域，包括社会科学领域。诺贝尔科学奖中有许多是数学工作，如线性规划工作获经济学奖，源于拉东变换原理的CT扫描获医学奖等。计算机的出现，使许多数学理论能成为实时控制的技术，数字模拟替代了昂贵的科学实验，运筹帷幄的数学进入企业管理。数字地球和信息高速公路把信息数据压缩的数学技术推到科学竞争的前台。说到底，一切高新技术的背后往往都有数学技术在支持。数学技术已成为知识经济时代的一个重要特征。
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四个数学高峰，催生或代表了人类的文明进步。
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数学文化教程 第二节 古希腊为代表的地中海数学文明
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地中海沿岸是人类文明的发源地之一。最早的数学记录可溯源于公元前两千多年的苏美尔文化。19世纪的考古发现，揭示了人类最早的数学文明出现在古巴比伦，今伊拉克、土耳其一带。实物证据是带有楔形文字的泥板，其中有300块有关数学。破译古巴比伦文字以后，知道那时已能解一元二次方程，泥板上有21/2的近似值。令人惊奇的是普林顿322号泥板上有15行数字（图2.2.1），用现代的阿拉伯数字写下其中的四行数字是
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