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第三个高峰：希尔伯特为代表的形式主义公理化时期
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大约在19世纪中叶，非欧几何的出现、抽象群论的诞生，特别是微积分的严格化过程，使数学进入一个新的时期。理性思维、严密证明成为数学时尚。德国格丁根学派的代表人物希尔伯特（David Hilbert，1862—1943），在1898年发表《几何基础》，把欧几里得的《几何原本》完全地严密化。此后便一发不可收，形式主义和逻辑主义的思潮占据了数学领域的主导地位。抽象和严密成为新的时尚。希尔伯特希望把数学建立在一个“相容的、独立的、完全的”公理体系之上，一劳永逸地树立数学的真理性。这一努力最后失败了，但也创立了一门叫做“数学基础”的学科。另一方面，数学大量地用于各个科学领域，例如影响人类文明进程的电磁学，其基本架构乃是一组微分方程。作为这一时期物理学思想革命的相对论，则建立在黎曼几何的框架上。
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第四个高峰：以计算机技术为标志的新数学时期
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自1946年第一台电子计算机（ENIAC）问世以来，以冯·诺依曼为代表的一批数学家参与计算机的研制，又一次为人类文明的进步做出最基础的贡献。与此同时，数学本身也受到计算机技术的推动，进入了崭新的时期。1948年，维纳的控制论、仙农的信息论相继问世，开创了新的局面。此后，数学大举“入侵”各个学科领域，包括社会科学领域。诺贝尔科学奖中有许多是数学工作，如线性规划工作获经济学奖，源于拉东变换原理的CT扫描获医学奖等。计算机的出现，使许多数学理论能成为实时控制的技术，数字模拟替代了昂贵的科学实验，运筹帷幄的数学进入企业管理。数字地球和信息高速公路把信息数据压缩的数学技术推到科学竞争的前台。说到底，一切高新技术的背后往往都有数学技术在支持。数学技术已成为知识经济时代的一个重要特征。
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四个数学高峰，催生或代表了人类的文明进步。
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数学文化教程 第二节 古希腊为代表的地中海数学文明
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地中海沿岸是人类文明的发源地之一。最早的数学记录可溯源于公元前两千多年的苏美尔文化。19世纪的考古发现，揭示了人类最早的数学文明出现在古巴比伦，今伊拉克、土耳其一带。实物证据是带有楔形文字的泥板，其中有300块有关数学。破译古巴比伦文字以后，知道那时已能解一元二次方程，泥板上有21/2的近似值。令人惊奇的是普林顿322号泥板上有15行数字（图2.2.1），用现代的阿拉伯数字写下其中的四行数字是
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119 169
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4601 6649
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12709 18541
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65 97
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◀ 图2.2.1 古巴比伦泥板普林顿322号
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经过德国数学史家破译之后发现，以上各组数字如果分别补上120，4800，13500，72之后，每三个数恰好是某直角三角形的三条边之长，即这几组数都是勾股数：
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1192+1202=1692
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46012+48002=66492
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127092+135002=185412
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652+722=972
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这显示古巴比伦有非常发达的数学文明。
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埃及在地中海的南岸。她的数学文明可以从写在莎草纸上的文字为证。它们分别收藏于伦敦大英博物馆和莫斯科。这些纸草书的年代在公元前1850—前1600，大约相当于我国的“夏”代。纸草书的内容涉及一元一次方程的解法，有等差和等比数列的简单知识。
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公元前8世纪，北方来的人控制了地中海沿岸，进入了辉煌的古希腊文明时期。古希腊的版图，以现今的希腊雅典城为中心，包含今天的意大利南部、土耳其的一部分以及埃及的亚历山大城等广袤地区。
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约公元前700年，泰勒斯倡导数学证明，开创论证几何。比如“对顶角相等”，需要从等量减等量、余量相等的公理推出，他还发现直径上的圆周角是直角，相似形各对应线段成比例等数学知识，并能用数学方法求金字塔的高度。
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活跃于公元前500年的毕达哥拉斯学派是一个神秘的团体，他们研究几何学和数论。据说毕达哥拉斯（Pythagoras，约前570—前495，图2.2.2）证明了直角三角形的直角边平方之和等于斜边的平方，不过并没有文字记载流传至今。他们只承认整数及整数的比——分数。但是，正是这个学派的门人发现了正五边形的对角线和边长不可公度，这等于发现了无理数的存在。毕达哥拉斯不能容忍这样的数，竟把发现无理数的弟子抛进大海。