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这显示古巴比伦有非常发达的数学文明。
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埃及在地中海的南岸。她的数学文明可以从写在莎草纸上的文字为证。它们分别收藏于伦敦大英博物馆和莫斯科。这些纸草书的年代在公元前1850—前1600，大约相当于我国的“夏”代。纸草书的内容涉及一元一次方程的解法，有等差和等比数列的简单知识。
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公元前8世纪，北方来的人控制了地中海沿岸，进入了辉煌的古希腊文明时期。古希腊的版图，以现今的希腊雅典城为中心，包含今天的意大利南部、土耳其的一部分以及埃及的亚历山大城等广袤地区。
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约公元前700年，泰勒斯倡导数学证明，开创论证几何。比如“对顶角相等”，需要从等量减等量、余量相等的公理推出，他还发现直径上的圆周角是直角，相似形各对应线段成比例等数学知识，并能用数学方法求金字塔的高度。
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活跃于公元前500年的毕达哥拉斯学派是一个神秘的团体，他们研究几何学和数论。据说毕达哥拉斯（Pythagoras，约前570—前495，图2.2.2）证明了直角三角形的直角边平方之和等于斜边的平方，不过并没有文字记载流传至今。他们只承认整数及整数的比——分数。但是，正是这个学派的门人发现了正五边形的对角线和边长不可公度，这等于发现了无理数的存在。毕达哥拉斯不能容忍这样的数，竟把发现无理数的弟子抛进大海。
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古希腊大哲学家柏拉图（Plato，前427—前347，图2.2.3）在古希腊首都雅典的近郊，开设了一个讲学和研究知识的场所，取名为Academy。它断续存在了900余年，直到公元529年才被拜占庭皇帝下令彻底关闭；而它对科学的深远影响延续至今。如今，每个大国都设立Academy，也就是科学院。每位科学家以当选科学院院士为最高的学术荣誉。
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在柏拉图学院的大门上，刻着这样一句话：“不懂几何者免入”（Let No One Ignorant of Geometry Enter Here）。在古希腊，“几何”与“数学”同义。所以，这句话凸显出数学在古希腊知识领域中的崇高地位。
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约公元前400年，欧多克斯用非常精细的“穷竭法”，克服了不可公度量的困难，将线段之比为有理数的结论推广到无理数情形。这是一个很大的飞跃。
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古希腊数学的第二期创造集中在亚历山大城（即今天埃及的亚历山大城），代表人物是欧几里得和阿基米德等。
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欧几里得（Euclid，前330—前275年，图2.2.4）著《几何原本》13卷，含465个命题，用逻辑演绎的方法，展现了公理化的几何体系，成为人类理性思维的典范作品。
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◀ 图2.2.2 毕达哥拉斯
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▲ 图2.2.3 柏拉图
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▲ 图2.2.4 欧几里得
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阿基米德（Archimedes，约前287—前212，图2.2.5）是古希腊数学的重要代表，甚至被称为人类有史以来三位最伟大的数学家之一（另两位是牛顿和高斯）。他出生在古希腊西西里岛东南端的叙拉古城。当时，古希腊早期的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；另一方面，意大利半岛上新兴的罗马帝国，正在不断地扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起。阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，叙拉古城则成为许多势力的角力场所。
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阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以他从小受家庭影响，十分喜爱数学。大概在九岁时，父亲送他到亚历山大城念书，亚历山大城是当时西方世界的知识、文化中心，学者云集，举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达，阿基米德在这里跟随许多著名的数学家学习，包括几何学大师欧几里得。
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▲ 图2.2.5 阿基米德
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阿基米德发现了一些重要的物理学原理，如杠杆原理和浮体定律；还发明了许多神奇的机械装置，叙拉古人利用其中一些装置曾多次击退罗马军队的进攻。然而，他更着迷于纯数学的研究，并做出一系列开创性的贡献：包括用“穷竭法”算出球面积、球体积、抛物线和椭圆面积，这些工作发展成近代的“微积分”；他还研究了螺旋形曲线的性质，这种曲线后来被称为“阿基米德螺线”。另外他在《数沙术》一书中，创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。
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