1701014336
1701014337
5.若一条直线与另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
1701014338
1701014339
公理
1701014340
1701014341
1.与同一个事物相等的事物彼此相等。
1701014342
1701014343
2.等量加等量，其和仍相等。
1701014344
1701014345
3.等量减等量，其差仍相等。
1701014346
1701014347
4.彼此重合的事物彼此相等。
1701014348
1701014349
5.整体大于部分。
1701014350
1701014351
现在我们来看“对顶角相等”的证明给我们带来的震撼。
1701014352
1701014353
定理 如图2.3.4，两条直线相交，那么角A等于角B。
1701014354
1701014355
这太简单了！一眼就看出来了！
1701014356
1701014357
这还要证明吗？那不是自找麻烦吗？
1701014358
1701014359
然而，在《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15。证明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根据公理3（“等量减等量，其差仍相等”），所以A=B。
1701014360
1701014361
据历史考证，最早使用这一方法的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。这里，重要的价值不在于“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。弄清要不要证明才是关键。
1701014362
1701014363
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治，是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治，彼此间的不同意见需要用理由说服对方，于是学术上的辩论风气随之兴起。为了证明自己坚持的是真理，就需要证明。于是，古希腊的学术不仅要解决真理“是什么（what）”的问题，还要回答“为什么（why）”的问题，“唯理论”的学术风气很盛。
1701014364
1701014365
在这样的政治文化氛围中，数学也就不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想：为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？
1701014366
1701014367
1701014368
1701014369
1701014370
▲ 图2.3.4 对顶角相等
1701014371
1701014372
重要的几何命题是世界各国都有的。比如，中国很早就发现了勾股定理，古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确，也讲“为什么”，使用了“出入相补”原理，用拼接的方法加以证明。但是，中国的古代数学，多半以“官方文书”的形式出现，目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理，却没有古希腊那样的“自由学术辩论”，唯理论没有形成大的风气。因此，中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异，导致了数学上的分别。
1701014373
1701014374
对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法，后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点，中国传统文化比较薄弱和欠缺。我们应当实行“拿来主义”，认真加以学习和体会，努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。
1701014375
1701014376
但是话说回来，我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力，运用测量、估计的手段，使用物理的、化学的实验方法，采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法，只是其中的一种（然而是十分重要的一种）而已。
1701014377
1701014378
直观和理性，是整个思维过程的两个方面，相辅相成。
1701014379
1701014380
1701014381
1701014382
1701014383
数学文化教程 [:1701013710]
1701014384
数学文化教程 第四节 黄金时代：从牛顿到高斯
1701014385