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1701014351 现在我们来看“对顶角相等”的证明给我们带来的震撼。
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1701014353 定理 如图2.3.4,两条直线相交,那么角A等于角B。
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1701014355 这太简单了!一眼就看出来了!
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1701014357 这还要证明吗?那不是自找麻烦吗?
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1701014359 然而,在《几何原本》中,“对顶角相等”是命题15。证明如下:A+C是平角,B+C也是平角,然后根据公理3(“等量减等量,其差仍相等”),所以A=B。
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1701014361 据历史考证,最早使用这一方法的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。这里,重要的价值不在于“对顶角相等”的命题本身,而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。弄清要不要证明才是关键。
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1701014363 古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律,处理财产、祭祀、军事等问题(注意:广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利)。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治,是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治,彼此间的不同意见需要用理由说服对方,于是学术上的辩论风气随之兴起。为了证明自己坚持的是真理,就需要证明。于是,古希腊的学术不仅要解决真理“是什么(what)”的问题,还要回答“为什么(why)”的问题,“唯理论”的学术风气很盛。
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1701014365 在这样的政治文化氛围中,数学也就不仅要回答“什么是数学真理”,还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想:为了证明自己的学问是真理,先设一些人人皆同意的“公理”,规定一些名词的意义,然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论,岂不是很有说服力吗?
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1701014370 ▲ 图2.3.4 对顶角相等
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1701014372 重要的几何命题是世界各国都有的。比如,中国很早就发现了勾股定理,古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确,也讲“为什么”,使用了“出入相补”原理,用拼接的方法加以证明。但是,中国的古代数学,多半以“官方文书”的形式出现,目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理,却没有古希腊那样的“自由学术辩论”,唯理论没有形成大的风气。因此,中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异,导致了数学上的分别。
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1701014374 对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法,后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点,中国传统文化比较薄弱和欠缺。我们应当实行“拿来主义”,认真加以学习和体会,努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以,我们学习数学,不仅要记住定义和定理,更重要的是能学会这种理性思维的方法。
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1701014376 但是话说回来,我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力,运用测量、估计的手段,使用物理的、化学的实验方法,采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法,只是其中的一种(然而是十分重要的一种)而已。
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1701014378 直观和理性,是整个思维过程的两个方面,相辅相成。
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1701014383 数学文化教程 [:1701013710]
1701014384 数学文化教程 第四节 黄金时代:从牛顿到高斯
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1701014386 欧洲中世纪的漫漫长夜逐渐过去,历史的车轮滚滚向前。数学的巨人不断出现,形成了连绵的科学高峰。当中国的明清两代皇帝坐稳江山的时候,科学落后的祸根已经埋下。抚今追昔,“科学是第一生产力”的论断,似乎更加清晰了。
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1701014388 牛顿(Isaac Newton,1642—1727,图2.4.1)的生平,我们将在后面提到。这里先介绍牛顿所面临的数学问题。
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1701014393 ◀ 图2.4.1 牛顿
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1701014396 借助于17世纪法国哲学家、数学家笛卡儿(Rene Descartes,1596—1650)于1637年提出的坐标几何的概念,曲线、方程、函数等概念得到了完美的统一。大家知道,二次函数可以表示匀加速运动的距离s和时间t之间的关系。我们就从观察抛物线函数y=x2的性质说起。
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1701014398 见图2.4.2,通过观察我们发现,研究曲线的切线有助于研究图像本身。在y=x2的顶点(x=0处),切线平行于x轴,斜率为零;在顶点的左边,函数值随x的增加而减少,与此相应的切线的斜率一直是负的;而在曲线顶点的右边,函数值随x的增大而增大,这时的切线斜率是正的。这样一来,如果能够把函数图像的切线斜率计算出来,函数本身的性质就可以得到进一步的了解。正是这样创新的想法,导致了微积分的产生。
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