1701014350
1701014351
现在我们来看“对顶角相等”的证明给我们带来的震撼。
1701014352
1701014353
定理 如图2.3.4，两条直线相交，那么角A等于角B。
1701014354
1701014355
这太简单了！一眼就看出来了！
1701014356
1701014357
这还要证明吗？那不是自找麻烦吗？
1701014358
1701014359
然而，在《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15。证明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根据公理3（“等量减等量，其差仍相等”），所以A=B。
1701014360
1701014361
据历史考证，最早使用这一方法的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。这里，重要的价值不在于“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。弄清要不要证明才是关键。
1701014362
1701014363
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治，是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治，彼此间的不同意见需要用理由说服对方，于是学术上的辩论风气随之兴起。为了证明自己坚持的是真理，就需要证明。于是，古希腊的学术不仅要解决真理“是什么（what）”的问题，还要回答“为什么（why）”的问题，“唯理论”的学术风气很盛。
1701014364
1701014365
在这样的政治文化氛围中，数学也就不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想：为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？
1701014366
1701014367
1701014368
1701014369
1701014370
▲ 图2.3.4 对顶角相等
1701014371
1701014372
重要的几何命题是世界各国都有的。比如，中国很早就发现了勾股定理，古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确，也讲“为什么”，使用了“出入相补”原理，用拼接的方法加以证明。但是，中国的古代数学，多半以“官方文书”的形式出现，目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理，却没有古希腊那样的“自由学术辩论”，唯理论没有形成大的风气。因此，中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异，导致了数学上的分别。
1701014373
1701014374
对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法，后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点，中国传统文化比较薄弱和欠缺。我们应当实行“拿来主义”，认真加以学习和体会，努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。
1701014375
1701014376
但是话说回来，我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力，运用测量、估计的手段，使用物理的、化学的实验方法，采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法，只是其中的一种（然而是十分重要的一种）而已。
1701014377
1701014378
直观和理性，是整个思维过程的两个方面，相辅相成。
1701014379
1701014380
1701014381
1701014382
1701014383
数学文化教程 [:1701013710]
1701014384
数学文化教程 第四节 黄金时代：从牛顿到高斯
1701014385
1701014386
欧洲中世纪的漫漫长夜逐渐过去，历史的车轮滚滚向前。数学的巨人不断出现，形成了连绵的科学高峰。当中国的明清两代皇帝坐稳江山的时候，科学落后的祸根已经埋下。抚今追昔，“科学是第一生产力”的论断，似乎更加清晰了。
1701014387
1701014388
牛顿（Isaac Newton，1642—1727，图2.4.1）的生平，我们将在后面提到。这里先介绍牛顿所面临的数学问题。
1701014389
1701014390
1701014391
1701014392
1701014393
◀ 图2.4.1 牛顿
1701014394
1701014395
1701014396
借助于17世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）于1637年提出的坐标几何的概念，曲线、方程、函数等概念得到了完美的统一。大家知道，二次函数可以表示匀加速运动的距离s和时间t之间的关系。我们就从观察抛物线函数y=x2的性质说起。
1701014397
1701014398
见图2.4.2，通过观察我们发现，研究曲线的切线有助于研究图像本身。在y=x2的顶点（x=0处），切线平行于x轴，斜率为零；在顶点的左边，函数值随x的增加而减少，与此相应的切线的斜率一直是负的；而在曲线顶点的右边，函数值随x的增大而增大，这时的切线斜率是正的。这样一来，如果能够把函数图像的切线斜率计算出来，函数本身的性质就可以得到进一步的了解。正是这样创新的想法，导致了微积分的产生。
1701014399