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1.集合悖论
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在一般情况下，集合的界定是很清楚的。然而在某些情况下，按上述描述性定义规定的集合概念会产生麻烦。如：
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（1）理发师悖论
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理发师说：他给一切“不给自己刮脸的人”刮脸。
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初看起来，理发师的服务对象组成了一个集合B。但是在讨论理发师自己是否属于B时却出现了矛盾。理发师若不给自己刮脸，他就应该属于B，即自己也成了自己的服务对象，他就应该给自己刮脸。这样，他就属于“给自己刮脸的人”，从而他就不属于B。但是若他不属于B，即他“给自己刮脸”，他自己就不是服务对象，他就不应该给自己刮脸，因而也产生矛盾。这样，若记理发师为y，则y∈B和y∉B都不对。
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这样的悖论还有许多。
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（2）语义悖论
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由于英语中的音节只有有限多个，因而英语中包含的音节数少于40个的英语表达式也只可能是有限多个。特别地，用这样的表达式能表示的正整数也只可能是有限多个。我们用B表示“能用少于40个音节的表达式表示的正整数全体所组成的集合”。设x是用少于40个音节不能表达的最小正整数，即x∉B。但是x可以用下面的英语表达式表示：
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The least positive integer which is not denoted by an expression in the English language containing fewer than forty syllables.
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上述表达式只含有37个音节，因而x∈B。与x∉B矛盾。
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鉴于以上类型例子的矛盾，数学家重新研究了集合论的基础，尝试用各种方法来避免悖论。他们提出了集合论的公理系统，其作用是对作为数学研究对象的集合加上一定的限制，使之得以消除产生悖论的可能。在这些限制下，上述种种“集合”都被排除在数学研究的对象之外。当然这些限制也是非常宽松的，足够保留数学理论所有有价值的东西，足够满足数学发展的需求。在这样的公理化理论中，集合这个概念仍然不加定义，但是它的性质就由所谓的“集合公理”反映出来。而对集合论基础的研究，导致了数学的一个重要分支——“数学基础”的迅速发展。
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2.集合的基数
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对一个集合，我们通常会关心其包含的事物数目，即包含的元素的多少。如果集合内的元素是有限多个，此时称集合为有限集。对于有限集，我们自然用其所含元素的个数来比较它们的大小。此时，也把集合内元素的个数称为集合的基数。如果一个集合内的元素有无穷多个，我们如何来定义集合的基数呢？我们又如何来比较两个无穷集合所含元素的多少呢？
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为此，我们先分析一下在有限集的情况下，两个集合内的元素的多少是如何比较的。
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每一个主妇都知道，如何判断客人的数目是否和椅子的数目相同：如果每个客人坐一把椅子，而每把椅子上都坐了一个客人，不同客人坐的椅子也不同（即没有两个客人合用一把椅子），则客人数目就和椅子的数目一样多。对于两个集合A和B，我们也可以用下面类似的方法来说明它们所含元素一样多。
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设法规定一个将集合A中元素和集合B中元素对应的方法（这种方法随集合的不同而不同，例如上面的例子中把客人和他坐的椅子作对应），在这种对应方法下，满足：
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1）对A的每一个元素，B中有一个元素和它对应；
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2）反过来，对于集合B中的任意一个元素，总可以找到A中的一个元素和它对应；
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3）A的元素不同，B中对应元素也不同。
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这时我们称A与B之间建立了一一对应关系，并认为，集合A中的元素和集合B中的元素一样多，称A和B有相同的基数。
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我们再来看由满足不等式0＜x＜1的一切有理数x所组成的集合，即区间（0，1）内的有理数全体。初看起来，（0，1）内的有理数相当多，因为任何两个有理数之间有无穷多个有理数，即有理数在（0，1）内是稠密的。但是可以证明，在区间（0，1）中的有理数和自然数一样多。证明的方法是这样的：
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因为（0，1）内的每一个有理数可以唯一表示为
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此处p和q都是自然数。我们可以按照先排分母后排分子的方法把（0，1）内的所有有理数排成一列，去掉那些分子、分母不互素的那些分数：
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