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这时我们称A与B之间建立了一一对应关系，并认为，集合A中的元素和集合B中的元素一样多，称A和B有相同的基数。
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我们再来看由满足不等式0＜x＜1的一切有理数x所组成的集合，即区间（0，1）内的有理数全体。初看起来，（0，1）内的有理数相当多，因为任何两个有理数之间有无穷多个有理数，即有理数在（0，1）内是稠密的。但是可以证明，在区间（0，1）中的有理数和自然数一样多。证明的方法是这样的：
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因为（0，1）内的每一个有理数可以唯一表示为
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此处p和q都是自然数。我们可以按照先排分母后排分子的方法把（0，1）内的所有有理数排成一列，去掉那些分子、分母不互素的那些分数：
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按照这样的方法，（0，1）中的每一个有理数都可以在这个序列中找到自己唯一的位置，即每个数都有自己的位置号码。另外，这个序列又显然是无限长的（因为形如（k＞1）这样的有理数必在序列中）。这样一来，（0，1）中有理数集就和自然数集之间建立起了一一对应关系，即（0，1）内的有理数集合的基数等于自然数集的基数N。
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那么有没有一个集合的基数比N更大呢？或者说，有没有一个含有比自然数更多元素的集合呢？
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答案是肯定的。我们以下证明（0，1）内一切实数所组成的集合的基数比N大。
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（0，1）内的实数都可以表示为一个无限的小数：
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0.q1q2…,
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这里的q1，q2，…是0—9中的一个数字。反之，任何一个用这种形式表示的小数也一定在区间（0，1）内。假如（0，1）中的实数的基数和自然数的基数相同，都为N，则我们一定有一个方法可以将它们和自然数对应起来，即可以给它们依次编号。我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，把它们依次写出，就是：
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a1,a2,a3,….
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现在我们来构造一个小于1的正实数r：它的小数点后的第一位与上面的第一个数a1的第一位小数数字不同。例如，假设第一个数是0.123456…，则r的小数点后的第一位小数取2或3，等等。r的第二位数字和第二个数a2的第二位小数的数字不同。依次可以得到r的第n位小数位上的数字和an的第n位数字不同。这样得到的r是（0，1）内的一个实数。但是r却没有被编号：因为任何一个已编号的实数和r至少在一个小数位上的数字不同。这就是说，（0，1）中的有理数集合不可能和自然数集合建立起一一对应关系。简单地说，就是（0，1）中的有理数比自然数要“多”。
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如果我们把（0，1）的基数记作R，则R要大于N。R称为连续统的基数。
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3.模糊集合
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集合的一个基本性质是“一义性”，即对于任何一个事物y和任何一个集合B，“y是集合B中的一个事物”与“y不是集合B中的一个事物”，必定有一个断言而且只有一个断言是正确的。但是在实际生活中，许多现象中不会这么绝对化。
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例如，一个人是否属于“年轻人”集合是很难准确界定的。90岁的人肯定不年轻，20岁的人肯定年轻。但30岁的人是否年轻？35岁、40岁的人是否年轻？这时我们很难用“要么属于年轻人范围，要么不属于年轻人范围”这样绝对的断言下结论。
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为适应于这种情况，数学家引进了模糊集的概念。一个元素x是否属于一个集合M用隶属度（或称隶属度指标）μM（x）来描述。隶属度要符合下面的规定：
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当x属于M时：μM（x）=1，
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当x不属于M时：μM（x）=0，
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其余情况下0＜μM（x）＜1。
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例如，规定一个年龄为x岁的人属于年轻人集合Y的隶属度
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