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2.序关系
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先看所有自然数所组成的集合
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N={1,2,3,…}.
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两个自然数x和y之间的不等式x≥y表示了自然数x和y的大小关系,亦称序关系。这个不等式的含义是:或者x比y大,或者两者相等。序关系有下面的性质:
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1)反对称性 若有两个自然数x和y同时有不等式:x≥y,y≥x则必然x=y。
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2)传递性 若自然数x,y和z之间满足x≥y,y≥z,则必然x≥z。
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设想居住在某个山区的人群之间有某种血缘关系。我们现在规定,若某人x是另一个人y的长辈或与y同辈,我们就记为x≥y。若两个人同辈,则记为x=y。在这种体系下,长辈的长辈也是长辈。这种长辈、晚辈的关系(辈分关系)也是一种序关系。可以证明这样的辈分关系“≥”满足上面的两个要求。
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但是,许多关系并非序关系。例如同学关系,就不满足传递性,除非他们都在同一所学校同学。
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如果一个集合的序关系还满足如下的要求,则称该集合为有全序关系,称该集合为全序集。
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3)二歧性 对于集合中的任何两个事物x和y,如果没有x≥y,则必有y≥x。
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这个性质意味着,集合内的任意两个事物都可以按“≥”关系加以比较。没有二歧性的序关系称为偏序关系,有偏序关系的集合称为偏序集。在偏序集内的任意两个事物不一定都能比较。
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任何两个英语单词可以按照词典序分出先后次序,这种关系满足上述三个要求,英语单词集合是一个全序集,其序称为字典序。
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自然数、有理数、实数,按其大小都是全序关系。但是,复数没有大小关系。有人会说,可以给复数规定字典序成为全序集合,即复数可以先按实部、再按虚部排成字典序,例如i和0实部相同,但i的虚部为1,大于0的虚部0,所以按照字典序为i>0。但是,我们知道两个大于0的数相乘必须大于0,可是i×i=-1,却小于0了,因此字典序不合适。复数找不到合适的全序定义,只好放弃了。于是我们退而求其次,规定a+bi≤c+di是指a≤c且b≤d。这样规定的偏序≤满足偏序关系,于是复数可以成为偏序集合。
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3.相关关系和函数关系
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我们先来观察现实生活中一些量的关系。例如一个人的身高与体重,一般说来,身材比较高的人身体也会比较重。又如,一个学生的数学成绩也会和他的物理成绩有一些关系,一般来说,数学成绩比较好的学生物理成绩也会比较好。有许多类似的实际例子说明有些量之间是有关系的。但是它们之间的关系和我们熟知的函数关系不同。函数关系是两个量之间确定的一种关系。当一个量(自变量)取一个值后,另一个变量(因变量)按一定的法则也随之取定一个值与之对应。例如,圆半径R和圆面积S的函数关系为
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S=πR2.
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当半径R确定后,圆的面积S按照上述公式随之确定。但是在身高和体重的关系中,由一个人的身高并不能完全确定他的体重:不同的人身高虽然一样,体重却可以不同。这样的关系我们称之为相关关系。我们把观察到的一个量的值xi和另一个量对应的值yi(例如一个人的身高和体重)看作一个数据对(xi,yi),并作为坐标在平面上标出相应的点,则一系列的观察数据对(x i ,yi )(i=1,2,…,n)就可以用坐标面上点的一个集合来表示。这个点的集合的图形称为相关图。在图3.2.1所示的六种情况下分别称两个量为强正相关、弱正相关、强负相关、弱负相关、曲线相关和不相关。
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在正相关的情况下,两个量的变化方向是一致的:一个量增加,另一个量也增加;一个量减少,另一个量也减少。在负相关的情况下,两个量的变化方向是相反的:一个量增加,另一个量却减少;一个量减少,另一个量却增加。正相关和负相关,通称为线性相关,因为从图上可以看出,两个量的变化和直线所表示的关系相近。在两个量为线性相关时,数学中还引进了相关系数来表明两个量关系的密切程度。相关系数r计算公式如下:
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▲ 图3.2.1 不同相关关系的图形
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其中,是x1,x2,…,xn的平均值:
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