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1701014877 2.序关系

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1701014879 先看所有自然数所组成的集合

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1701014881 N={1,2,3,…}.

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1701014883 两个自然数x和y之间的不等式x≥y表示了自然数x和y的大小关系，亦称序关系。这个不等式的含义是：或者x比y大，或者两者相等。序关系有下面的性质：

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1701014885 1）反对称性若有两个自然数x和y同时有不等式：x≥y，y≥x则必然x=y。

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1701014887 2）传递性若自然数x，y和z之间满足x≥y，y≥z，则必然x≥z。

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1701014889 设想居住在某个山区的人群之间有某种血缘关系。我们现在规定，若某人x是另一个人y的长辈或与y同辈，我们就记为x≥y。若两个人同辈，则记为x=y。在这种体系下，长辈的长辈也是长辈。这种长辈、晚辈的关系（辈分关系）也是一种序关系。可以证明这样的辈分关系“≥”满足上面的两个要求。

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1701014891 但是，许多关系并非序关系。例如同学关系，就不满足传递性，除非他们都在同一所学校同学。

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1701014893 如果一个集合的序关系还满足如下的要求，则称该集合为有全序关系，称该集合为全序集。

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1701014895 3）二歧性对于集合中的任何两个事物x和y，如果没有x≥y，则必有y≥x。

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1701014897 这个性质意味着，集合内的任意两个事物都可以按“≥”关系加以比较。没有二歧性的序关系称为偏序关系，有偏序关系的集合称为偏序集。在偏序集内的任意两个事物不一定都能比较。

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1701014899 任何两个英语单词可以按照词典序分出先后次序，这种关系满足上述三个要求，英语单词集合是一个全序集，其序称为字典序。

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1701014901 自然数、有理数、实数，按其大小都是全序关系。但是，复数没有大小关系。有人会说，可以给复数规定字典序成为全序集合，即复数可以先按实部、再按虚部排成字典序，例如i和0实部相同，但i的虚部为1，大于0的虚部0，所以按照字典序为i＞0。但是，我们知道两个大于0的数相乘必须大于0，可是i×i=-1，却小于0了，因此字典序不合适。复数找不到合适的全序定义，只好放弃了。于是我们退而求其次，规定a+bi≤c+di是指a≤c且b≤d。这样规定的偏序≤满足偏序关系，于是复数可以成为偏序集合。

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1701014903 3.相关关系和函数关系

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1701014905 我们先来观察现实生活中一些量的关系。例如一个人的身高与体重，一般说来，身材比较高的人身体也会比较重。又如，一个学生的数学成绩也会和他的物理成绩有一些关系，一般来说，数学成绩比较好的学生物理成绩也会比较好。有许多类似的实际例子说明有些量之间是有关系的。但是它们之间的关系和我们熟知的函数关系不同。函数关系是两个量之间确定的一种关系。当一个量（自变量）取一个值后，另一个变量（因变量）按一定的法则也随之取定一个值与之对应。例如，圆半径R和圆面积S的函数关系为

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1701014907 S=πR2.

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1701014909 当半径R确定后，圆的面积S按照上述公式随之确定。但是在身高和体重的关系中，由一个人的身高并不能完全确定他的体重：不同的人身高虽然一样，体重却可以不同。这样的关系我们称之为相关关系。我们把观察到的一个量的值xi和另一个量对应的值yi（例如一个人的身高和体重）看作一个数据对（xi，yi），并作为坐标在平面上标出相应的点，则一系列的观察数据对（x i ，yi ）（i=1，2，…，n）就可以用坐标面上点的一个集合来表示。这个点的集合的图形称为相关图。在图3.2.1所示的六种情况下分别称两个量为强正相关、弱正相关、强负相关、弱负相关、曲线相关和不相关。

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1701014911 在正相关的情况下，两个量的变化方向是一致的：一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。在负相关的情况下，两个量的变化方向是相反的：一个量增加，另一个量却减少；一个量减少，另一个量却增加。正相关和负相关，通称为线性相关，因为从图上可以看出，两个量的变化和直线所表示的关系相近。在两个量为线性相关时，数学中还引进了相关系数来表明两个量关系的密切程度。相关系数r计算公式如下：

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