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2）结合律成立，即对任何元素a，b，c，恒有
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a°(b°c)=(a°b)°c.
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3）有单位元素存在，即G中有一个元素e有如下的性质：对任何a∈G，恒有e °a=a。
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4）逆运算可行，即对任何a∈G，在G中有一个元素a-1，称为a的逆元，使a-1°a=e。
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例1 整数关于加法成群。此时群的定义中的运算“°”就是普通的加法。单位元e=0，任何一个数a的逆元a-1就是a的相反数，即a-1=-a。
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例2 正有理数关于乘法成群。此时群的定义中的运算“°”就是普通的乘法。单位元e=1，任何一个数a的逆元a-1就是a的倒数，即。
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例3 我们把在队列操练中的几个动作用记号表示出来：
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保持不动记为R0，向右转记为R90，向左转记为R-90，向后转记为R180。记这些动作组成的集合为M。
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在M内规定两个动作的“°”运算为两个动作相继进行的结果，如R90 °R-90表示先向右转再向左转，结果是保持原来的状态，即R90 °R-90等于集合中的元素R0。由于任意两个动作的结果总是这四个动作之一，所以M关于运算“°”总是可行的。进一步，M还关于这种运算“°”成群：其中的单位元e=R0，各元素的逆元如下表所示：
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例4 由“非”和“是”组成集合M={非，是}，用下列各等式规定M内的乘法×：
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是×是=是；
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是×非=非；
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非×是=非；
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非×非=是。
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可以验证：集合M和关于这样规定的乘法满足所有群的要求：其单位元为e=“是”，因为“是×非=非”，“是×是=是”；每个元素的逆元为自己。
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如果我们把“是”看作“1”，把“非”看作“-1”，把这里规定的乘法等同于数的乘法，则在运算等式
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是×非=非
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中把“是”改作“1”，把“非”改作“-1”，就得到数的集合M中的运算等式：
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1×(-1)=-1.
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奇数个-1之积等于-1，偶数个-1之积等于1。这就是通常逻辑学中的规律：
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奇数次否定之结果等于否定，偶数次否定之结果等于肯定。
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群的概念就是从整数、实数等许多具体的集合以及它们的运算性质的基础上抽象出来的。在19世纪的最后十年，数学家认识到，对许多不相联系的代数系统抽出它们共同的内容进行综合的研究，可以达到事半功倍的效果。正是对群及其他一大类抽象集合和它们结构的研究，逐渐形成了近世代数这一个现代数学的分支。数学家研究了各种不同群的结构、表示，并进行分类。这些研究在实践中得到了多方面的应用。
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例5 平面上的对称群和装饰花纹。
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