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奇数个-1之积等于-1，偶数个-1之积等于1。这就是通常逻辑学中的规律：
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奇数次否定之结果等于否定，偶数次否定之结果等于肯定。
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群的概念就是从整数、实数等许多具体的集合以及它们的运算性质的基础上抽象出来的。在19世纪的最后十年，数学家认识到，对许多不相联系的代数系统抽出它们共同的内容进行综合的研究，可以达到事半功倍的效果。正是对群及其他一大类抽象集合和它们结构的研究，逐渐形成了近世代数这一个现代数学的分支。数学家研究了各种不同群的结构、表示，并进行分类。这些研究在实践中得到了多方面的应用。
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例5 平面上的对称群和装饰花纹。
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一个平面图形，经过一些运动之后，可以保持形状不变。所有“经过该运动后使得有限的平面图形不变”的运动组成这个“运动群”。
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例如，对一个正方形来说，绕中心（对角线交点）顺时针旋转90°后图形不改变，“绕中心顺时针旋转90°”就是使正方形不变的一个运动。此外，如果将正方形绕对角线翻转，图形也不变，所以“绕对角线翻转”也是使正方形不变的一个运动。
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如图3.3.1，正方形ABCD绕对角线AC翻转后，B点变为D点，D点变为B点，线段AB变为线段AD，线段AD变为线段AB，线段CB变为线段CD，线段CD变为线段CB。
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还有更多的使正方形不变的运动。例如，“绕中心顺时针旋转180°”可以看作“绕中心顺时针旋转90°”两次，由于每次绕中心顺时针旋转90°图形不变，因而绕心顺时针旋转180°也使图形不变，这样，绕中心顺时针旋转180°也是使图形不变的一个运动。一般而言，前后连续作任何两个使图形不变的运动，结果图形也不变。把两个运动按这样方式的叠加可以看作两个运动的“乘积”，经过验证可以得到，所有使正方形图形不变的运动的集合满足群的要求，这个群称为正方形的对称群。
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为直观起见，我们把图形看作是一块均匀的板。使平面上任意一个有限图形不变的运动，也必然保持其重心不变。由此可以推知，这样的运动或是绕其重心的旋转，或是关于过其重心的某条直线的翻转。因而任意有限平面图形的对称群仅由绕其重心的某些旋转及关于过重心的某些直线的翻转生成。
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对平面有限图形对称群的研究和分类，发现只可能出现如下几种不同情形（图3.3.2）：
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▲ 图3.3.1 正方形的翻转
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▲ 图3.3.2 平面有限图形的对称群分类
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（1）仅由单位（恒等或不动）变换所组成的对称群K1。这是任意非对称形的对称群。
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（2）由单位变换及关于某一直线的翻折组成的对称群K2。
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（3）只由一些旋转组成的对称群K3，但其中不含作任意小角度的旋转。
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（4）只由一些旋转组成的对称群K4，其中含有作任意小角度的旋转。此时，作任意角度α的旋转仍属于群K4。这里的所有的运动或是图形本身或是旋转，排除了关于直线的翻转。这是平面上有方向的圆或有方向的圆环的对称群。
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（5）设在平面上有n条过图形重心O点的直线，这些直线分平面为2n个等角。对称群K5由关于这些直线的n种翻转以及绕O旋转的倍角而生成。具有这样对称群的图形包括正2n边形。
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（6）由绕图形重心O点所有旋转及关于所有过O点的直线的翻转生成的对称群K6。无方向圆及无方向圆环可作为它的例子。
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由上可见，群的概念把一些本来似乎没有关联的对象，赋予一定的结构，从而可以探索其间的规律。
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数学智慧使人聪明，这又是一例。
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