打字猴:1.701015077e+09

1701015077

1701015078 一般地说，图形在连续变形时大小、长短、形状都会改变，但是有些性质却保持不变。例如，我们可以把一根圆形的橡皮圈拉长为一个狭长的椭圆形，也可以把它变成正方形的形状，或者变成其他奇形怪状的曲线。图3.4.1（a）画出了一些它可能变成的形状。但是圆形的橡皮圈不能变成图3.4.1（b）中的“8”字形和三叶瓣曲线。

1701015079

1701015080 若要变成“8”字形，必须把原先两个不同的点黏合为一个点；要变成三叶瓣曲线，必须把原先三个不同的点黏合为一个点。而这违反了“不能黏合”的变化规定。我们把所规定的变形（即可以拉伸压缩、扭曲，不能黏合）称为“拓扑变换”（数学中的拓扑变换比这种直观的变形还要广一些）。在这种变换下不变的性质称为“拓扑性质”。图中的圆周在其变形过程中所保持的不变性质就是只有一个环，这是圆周的拓扑性质。“8”字形和三叶瓣曲线分别有2个和3个环，与圆周有不同的拓扑性质。拓扑学以图形的拓扑性质作为自己的研究对象。

1701015081

1701015082 现在考察一个球面。我们仍然把它设想为一个可以变形的橡皮球。用拓扑变换把它变成不同的形状（图3.4.2是其中的一些）。

1701015083

1701015084 但是我们不能把它变成像救生圈那样的环面。事实上，在拓扑变换下球面有两个不变的性质，即两个拓扑性质：

1701015085

1701015086 1）球面是闭曲面，它没有边界。（像救生圈那样的环面也没有边界，圆盘面是有边界的，圆柱面、圆锥面也是有边界的。）

1701015087

1701015088 2）如果沿着球面上的任何一条闭曲线切开橡皮球，橡皮球就会分成互不连接的两部分。（像救生圈那样的环面就不具有此性质。当沿着环面

1701015089

1701015090

1701015091

1701015092

1701015093 ▲ 图3.4.1 一根圆形橡皮圈的可能和不可能变形

1701015094

1701015095

1701015096

1701015097

1701015098 ▲ 图3.4.2 橡皮球的可能变形

1701015099

1701015100 的子午线切开时，环面就变成一个弯曲的圆筒形（图3.4.3），而这个圆筒形又可以用拓扑变换变成圆柱形的侧面。）这是球面与圆环面不同的拓扑性质。

1701015101

1701015102 在拓扑学中，用“连通阶”的概念来描述曲面的差别。

1701015103

1701015104 沿着子午线切开像救生圈那样的环面时，环面不会分开为两个互不连接的部分。这时我们说，环面上的子午线“不形成对曲面的划分”。

1701015105

1701015106 在环面上，经线也不形成对曲面的划分（见图3.4.4）。

1701015107

1701015108 在环面上可以找到两条闭曲线，一条是子午线，一条是经线，它们组合起来仍不能形成对曲面的划分。但是，在环面上不可能找到第三条闭曲线，使这三条曲线合起来不形成对曲面的划分。这也就是说，环面上的任何三条闭曲线必定分环面为两个互不相连接的部分。这时拓扑学定义环面的连通阶为2。

1701015109

1701015110 对一般曲面，连通阶定义为曲面上能不形成对曲面划分的最多闭曲线的数目。对球面而言，其连通阶为0。如图3.4.5那样的面包和双柄壶，其连通阶都是4。一般地，若在球面上开2p个小洞，然后按两个一组配成p组，对每一组沿洞的边缘粘上一个圆柱面，这样得到了一个有p个把柄的球面。这样的曲面的连通阶是2p。环面就是p=1的情况。数学家们证明，空间的闭曲面可以按连通阶分类：任何两个相同连通阶的曲面可以从一个用拓扑变换变成另一个。

1701015111

1701015112