1701015129
默比乌斯带不能区分两侧。从带上一点E沿着带的中线移动，移动一周后回到E点，虽然没有经过带的边界，但是已经到了与出发时不同的一侧。此外，默比乌斯带的边界由单独一条闭曲线组成。
1701015130
1701015131
默比乌斯带是有边界的曲面，同样也存在单侧的闭曲面，即存在没有边界的单侧曲面。典型的例子是图3.4.7上的克莱茵曲面。设想把两条默比乌斯带沿边界上相互黏合起来可以得到克莱茵曲面。
1701015132
1701015133
对单侧曲面也有上面所述的按连通阶分类的方法，但是各类曲面较难表现出来。
1701015134
1701015135
2.多面体的欧拉公式
1701015136
1701015137
对于一个多面体，我们用V表示其顶点数，用E表示其棱的数目，F表示其面的数目。数学家笛卡儿和欧拉先后独立地发现：对于任何的简单多面体，下面的公式总成立：
1701015138
1701015139
1701015140
1701015141
1701015142
▲ 图3.4.6 默比乌斯带是单侧曲面
1701015143
1701015144
1701015145
1701015146
1701015147
◀ 图3.4.7 克莱因曲面是没有边界的单侧曲面
1701015148
1701015149
V-E+F=2.(1)
1701015150
1701015151
所谓“简单多面体”，是指一个没有“洞”的多面体。如在图3.4.8中，图（a）和（b）是简单多面体，图（c）不是简单多面体。
1701015152
1701015153
上述公式（1）通常称为“欧拉公式”。例如对于图3.4.8（a）所示多面体，V=8，E=12，F=6，满足
1701015154
1701015155
V-E+F=8-12+6=2.
1701015156
1701015157
对于图3.4.8（b）所示的多面体，V=5，E=8，F=5，同样有
1701015158
1701015159
V-E+F=5-8+5=2.
1701015160
1701015161
下面我们就对图3.4.9（a）中的简单多面体来证明欧拉公式。证明的方法可以用于一般的简单多面体。这个证明富有启发性，对理解数学证明不无好处。
1701015162
1701015163
我们设想该多面体是空心的，且表面是由橡皮做成。我们割去多面体的一个面CGHF，对剩下的表面作拉伸、压缩等连续变形（拓扑变换），把剩下的部分展平在平面上。
1701015164
1701015165
1701015166
1701015167
1701015168
▲ 图3.4.8 简单多面体
1701015169
1701015170
1701015171
1701015172
1701015173
▲ 图3.4.9
1701015174
1701015175
此时我们可以再进一步变形，让每一条边仍然是直线段。在这个变形的过程中，这部分的各个面的面积、棱的长度、棱与棱的夹角等都会发生变化。但是，在平面上展平后得到的网络所包含的顶点的数目和棱的数目，仍和原来多面体的顶点数和棱数一样多。不同的是，网络所含多面体的多边形的数目，比原来多面体的面数少1（因为展平前已经去掉了一个面CGHF）。这样，我们只要证明，对于平面网络，下述公式（2）成立：
1701015176
1701015177
V-E+F=1.(2)
1701015178