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▲ 图3.4.4 在环面上，经线不形成对曲面的划分
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▲ 图3.4.5 连通阶为4的曲面
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但是这里仅限于双侧曲面，即它们分得出内侧与外侧。与这种曲面并存的还有所谓的单侧曲面。对单侧曲面来说，分不出曲面的两侧。最简单的例子是默比乌斯带。把一个矩形的纸条ABCD的AB边翻转和CD边黏合，使A和C黏合，B和D黏合（图3.4.6）。
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默比乌斯带不能区分两侧。从带上一点E沿着带的中线移动，移动一周后回到E点，虽然没有经过带的边界，但是已经到了与出发时不同的一侧。此外，默比乌斯带的边界由单独一条闭曲线组成。
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默比乌斯带是有边界的曲面，同样也存在单侧的闭曲面，即存在没有边界的单侧曲面。典型的例子是图3.4.7上的克莱茵曲面。设想把两条默比乌斯带沿边界上相互黏合起来可以得到克莱茵曲面。
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对单侧曲面也有上面所述的按连通阶分类的方法，但是各类曲面较难表现出来。
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2.多面体的欧拉公式
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对于一个多面体，我们用V表示其顶点数，用E表示其棱的数目，F表示其面的数目。数学家笛卡儿和欧拉先后独立地发现：对于任何的简单多面体，下面的公式总成立：
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▲ 图3.4.6 默比乌斯带是单侧曲面
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◀ 图3.4.7 克莱因曲面是没有边界的单侧曲面
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V-E+F=2.(1)
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所谓“简单多面体”，是指一个没有“洞”的多面体。如在图3.4.8中，图（a）和（b）是简单多面体，图（c）不是简单多面体。
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上述公式（1）通常称为“欧拉公式”。例如对于图3.4.8（a）所示多面体，V=8，E=12，F=6，满足
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V-E+F=8-12+6=2.
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对于图3.4.8（b）所示的多面体，V=5，E=8，F=5，同样有
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V-E+F=5-8+5=2.
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下面我们就对图3.4.9（a）中的简单多面体来证明欧拉公式。证明的方法可以用于一般的简单多面体。这个证明富有启发性，对理解数学证明不无好处。
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我们设想该多面体是空心的，且表面是由橡皮做成。我们割去多面体的一个面CGHF，对剩下的表面作拉伸、压缩等连续变形（拓扑变换），把剩下的部分展平在平面上。
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▲ 图3.4.8 简单多面体
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