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同时，实数关于距离是完备的，即任何实柯西列都必须收敛于某个实数。如，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…，收敛于
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实数域与全序是协调的，因此称作为全序域，即满足
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1）加法保序性：若a＜b，则对任何的c，有a+c＜b+c；
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2）乘正数保序性：若a＜b，则对任何的c＞0，有ac＜bc。
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这些性质就是实数的公理系统，标志着实数的结构。
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例2 复数系C是完备的偏序域。按照复数的加法和乘法，有
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(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
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(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
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于是复数C构成域。前面已经提到过，它的序结构是偏序。
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同样规定两复数Z1和Z2的距离为｜Z1-Z2｜。关于这个距离，复数系是
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例3 线性空间。一个集合，其上定义了加法运算以及逆运算，还有数乘运算，但是没有乘法运算，也就谈不上除法运算。具有加减运算和数乘运算的数学结构称为线性结构。例如由全体平面向量组成的集合构成线性空间。详细的叙述，请见第七章第一节线性空间部分。
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数学文化教程 第四章 数学欣赏：数学意境与人文意境的沟通
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数学欣赏，古已有之，中外皆然。数学美的论述多多，如和谐美、简约美、对称美等。黄金分割的艺术美更是大家耳熟能详。这一章将集中讨论一个新课题：数学人文意境的欣赏。语文教育和数学教育有明显的区别。语文教育重在欣赏，比如语文课教学生欣赏古文、欣赏唐诗，却基本上不会写古文、作古诗。但是，从小学到大学，数学教育的重点是“做题目”，几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。
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过去也有一些文献涉及数学和诗词的关系，有许多可供谈助的材料。例如
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一去二三里，烟村四五家；
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楼台七八座，八九十支花。
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把十个数字嵌进诗里，读来朗朗上口。郑板桥也有咏雪诗：
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一片二片三四片，五片六片七八片；
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千片万片无数片，飞入梅花总不见。
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诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过，以上两诗中尽管嵌入了数字，有点趣味性，却实在和数学没有什么关系。
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那么如何欣赏数学呢？那就是欣赏数学的人文意境。
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