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（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n′也真，那么，命题对所有自然数都真（这条公理保证了数学归纳法的正确性）。
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若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
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只要稍微对照一下，就可以看到《道德经》里关于自然数的叙述，和佩亚诺公理的内涵非常接近。
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20世纪初，集合论成为研究的热点。于是，大数学家冯·诺依曼根据佩亚诺公理，用集合语言把自然数直接构造出来。他从一个空集 出发，给出每一个自然数的后继：即此前所有集合为元素的集合。具体过程如下：
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空集 表示0；
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以空集 为元素的集合{}表示1；
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以 和{}为元素的集合{，{}}表示2；
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以，{}和{，{}}为元素的集合{，{}，{，{}}}表示3；
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…………
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以前面N个集合为元素构成的新集合，表示N+1
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…………
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数学家曾经梦想用最原始的集合语言逐步地构建和描述全部数学，其第一步就是描写自然数。冯·诺依曼的自然数构造方式，把《道德经》里的那几句话严密地写出来了。
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数学文化教程 第二节 杜甫《登高》与数学无限
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数学与诗有密切的关联。著名作家王蒙说道：“最高的数学和最高的诗一样，都充满了想象，充满了智慧，充满了创造，充满了章法，充满了和谐，也充满了挑战。诗和数学又都充满灵感，充满激情，充满人类的精神力量。那些从诗中体验到数学的诗人是好诗人。那些从数学中体会到诗意的人是好数学家。”[1]
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数学是唯一正面进攻“无限”的科学。自然数一个接一个，没完没了。《道德经》说“三生万物”。万物，泛指无穷无尽。不过，无限有两种：一种是没完没了的“潜无限”；另一种是“将无限一览无余”的“实无限”。数学中的无限数列a1，a2，…，an，…就是潜无限。而说“全体自然数”，或者区间[0，1]中的全部实数，则属于“实无限”。“潜无限”和“实无限”之区别，曾是20世纪数学研究中的重大课题。但是我们发现，杜甫的《登高》诗句中已经描述了这种差异：
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风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。
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无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。
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让我们关注三、四两句。诗人登高远望，只见无边无际的林木落叶萧萧而下，滚滚而来的长江奔流不息。雄浑、寥廓而又肃杀、凋零的气象，使诗人感到太空浩茫，岁月悠久。
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从数学的眼光分析，第三句指的是“实无限”，“无边落木”就是指“无限多的所有落木”，这是一个实无限集合，已被我们一览无余。
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第四句则是所谓“潜无限”，它没完没了，不断地“滚滚”而来。尽管到现在为止，还是有限的，却永远不会停止。
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顺这个思路想下去，我们发现自然数的无限也有实无限和潜无限两种。请看一个有关客人住具有“无限床位”旅店的故事。
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世界上的旅店很多，总是有限的。每间旅店的客房数也是有限的。所以，旅店客房总数是有限的。每一家旅店的客房内的床位也是有限的。不过，随着时间的延伸，如果不断地有新的旅店盖起来，房间总数数目会不断增加。那么，从长远看，旅店客房的床位数无穷无尽。这是潜无限的说法，没有问题。
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轮到实无限情形，怪事就来了。大数学家希尔伯特说，我如果拥有一间旅店具有无限张床位（注意，是实实在在已经存在着的无限张床！）现在对每张床都编上号，不妨记为1，2，3，…，n，…，而且无限多个旅客（也是实无限）已经入住，每人有张床，每床有个人，就像一个萝卜一个坑，人与床有了一一对应的联系了。此时旅店门口挂牌“客满”。
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