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物质结构是用对称语言写成的。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说,“对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理”。1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现,就和对称密切相关。此外,为杨振宁赢得更高的声誉的“杨—米尔斯规范场”,更是研究“规范对称”的直接结果。在《对称和物理学》一文中最后,他写道:“在理解物理世界的过程中,21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是,十分可能。”(《杨振宁文集》第444,703页)
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对称是一个十分宽广的概念,它出现在数学教材中,也存在于日常生活中,能在文学意境中感受它,也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它,更存在于大自然的深刻结构中。数学和人类文明同步发展,“对称”只是纷繁数学文化中的标志之一。
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世间万物都在变化之中,但只单说事物在“变”,不说明什么问题。科学的任务是要找出“变化中不变的规律”。一个民族必须与时俱进,不断创新,但是民族的传统精华不能变。京剧需要改革,可是京剧的灵魂不能变。古典诗词的内容千变万化,但是基本的格律不变。自然科学中,物理学有能量守恒、动量守恒;化学反应中有方程式的平衡,分子量的总值不能变。总之,惟有找出变化中的不变性,才有科学的、美学的价值。
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数学文化教程 第六节 欣赏数学的和谐美:美好、美妙、完美
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和谐美是论述数学美时经常提到的一种。但是,和谐必须和“美好”联系在一起。表面和谐的未见得是美好的。美好,是我们欣赏数学的又一个层次。
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数学的和谐美,为大家所称道。张顺燕教授曾指出,白居易的《寄韬光禅师》描写了一幅自然界的和谐图景。用以衬托“数形结合”的数学意境,可说恰到好处。诗是这样写的:
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一山门作两山门,两寺原从一寺分。
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东涧水流西涧水,南山云起北山云。
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前台花发后台见,上界钟声下界闻。
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遥想吾师行道处,天香桂子落纷纷。
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东南西北,前后上下,融为一体。把原从“一寺分出来的”两个寺比喻为“数”与“形”,不禁令人怡然自得,会心而笑。
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论数学之美,也许可以分为美观、美好、美妙和完美四个层次。
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“美观”也就是外观的“和谐美”,但实际上不一定正确。这方面有许多有趣的例子。姜伯驹院士曾经说起过他访问美国的一个故事。他在某大学上课,一个大学生居然认为“”。一个偶然的机会姜院士遇到该同学的中学数学老师,问:“为什么您的学生会认为呢?”那位老师回答说:“他们喜欢这样(They like it!)。”
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喜欢!这是理由吗?但是,这位学生凭什么认为“答案是”呢?显然,他是受了“和谐美”的影响。如果把分子分母分别加起来,就能得到答案,那将是何等的和谐啊!这种对和谐之美的追求,是人类的天性,我们不应该指责这些学生,而应该从表面的和谐,引向真正的美好。无独有偶,2004年,张奠宙在南宁体育馆听一堂小学的全区公开课,内容是“分数”开头的第一节。老师做了精心的设计,用做好的教具(整个圆,也可以分成两个半个圆)学生知道半圆表示整个圆的,课上得很精彩。临下课时,老师为了给下一节课(分数的同分母加法)作铺垫,问学生“个圆是多少?”老师本来的愿望是学生回答:1个圆。但是,出乎意料地,学生回答:“四分之二!”,引得南宁体育馆一阵笑声。
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这再次印证了,追求“和谐美”是人的天性,一开始总认为“分子与分母分别相加”的规则是天然合理的。“爱美之心,人皆有之”,数学教学中的美观认知,在算术、代数科目里多有反映。我们经常看到一些和谐的数学公式:
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很自然地就联想到应该有。
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可是,(a+b)2 =a2+b2,看起来也是和谐一致,美观得很。却是错的,非得要加上2ab才对。
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这种美观而不美好的例子,在数学中很多,教学中应当多多指出。例如:
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