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1701015756 麻将游戏里有大量的概率问题。麻将“和”了,算番数,自然是发生可能性大的“番数”小,难以做成的牌,因其发生的可能性小,得以获得高的番数。一副“清一色加一条龙”的大牌,难得一见,于是给以特别高的番数。事实上,无论是洗牌、码牌、抓牌、打牌、听牌、和牌,都由于各种机会出现的可能性不同而涉及概率。但是,一般的麻将玩友,理论上的认识也就到此为止,麻将高手也只在实际运用时水平较高而已。
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1701015758 那么,为什么欧洲的赌博能够产生概率论呢?让我们先看一个古典的数学问题。2002年,国际数学家大会在北京召开。中央电视台10频道举办一些有关数学的栏目进行宣传。在节目上,已故数理经济学家史树中教授,向演播室的观众提了如下的问题:
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1701015760 有一笔赌金,甲、乙两人竞赌,输赢的概率各为1/2,以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中,因故突然中止。此时,甲赢了4局,乙赢了3局。问这笔赌金该如何分配才合理?
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1701015762 随机地邀请几位观众进行回答,结果都说,按照这笔赌金的4/7和3/7进行分割比较合理。
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1701015766 正确的答案是:假设再进行一局,若甲胜(概率1/2)可得全部的1份赌金。若乙胜(概率也是1/2),则大家各胜4局,应当平分,甲得1/2。总之,甲可得,而乙只能得其余的赌金。
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1701015768 这就是说,这个问题,仅仅考虑谁赢了几局是不够的,还必须和原来五局获胜的约定联系起来。这样,每人的“期望值”是不一样的。甲离5局近,期望就会高些,因而得到的赌金可以达到3/4的份额。“期望”在这里是一个关键的“思想”,一个与众不同的卓越“见识”。
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1701015770 清代学者袁枚说过:“学如箭镞,才如弓弩,识以领之,方能中鹄。”一个人,光有知识不行,只有知识和能力也不行。就如放箭,有能力弯弓搭箭成满月状,但是不知道目标在哪里,两眼一抹黑,怎能打中目标?话说得真好。我们缺的就是这种见识。
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1701015772 1654年,法国数学家巴斯卡写给费马的一封信。其中涉及赌徒提出的一个问题:两个赌者在一场中断的赌博中,如何根据获胜所需局数,以及各自已经获胜的局数,合理地分配赌金。他们通过通信讨论这一问题,于是就有了上述关于“期望值”的数学,以此见识引领得到解答,是为概率论之发端。史树中教授的问题即改编于此。
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1701015774 一些优秀的数学家,能够在看不见数学的地方发现和运用数学。上面的数学期望值是其中一个简单的例子。这使我们联想起第二次世界大战以后,1948年时在美国出现的三项伟大数学成就。
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1701015776 维纳发表《控制论》,仙农发表《信息论》,冯·诺依曼提出计算机方案,这三项数学成就,不是通常我们所解决的那种“已知—求证”式的数学问题,而是在一般人看不见数学的地方发现和创立数学(图4.10.1)。打电报传送的信息,可以是数学研究的对象吗?用大脑控制手去拾地下的铅笔,可以构成“数学控制论”吗?研究数字电子计算机会改变时代吗?他们三个人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献。创立了信息论、控制论和设计了电子计算机方案。在别人看不见的地方,发现了数学问题,解决了数学问题,这是最大的数学创新。
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1701015781 ◀ 图4.10.1 三位信息时代数学的开拓者
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1701015783 [1] 摘自《小学教学参考》:2005年第28期,刊首语《最高的诗是数学》。
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1701015785 [2]我们还可以有另外的比喻:一个人可以有不同的装束:校服、运动服、唐装、西装领带、夹克衫、牛仔服等。所有的装束下,尽管多种多样,都是同一个人。两个分数通分,相当于两个人都穿一种服装。在教室里上课,大家都穿校服。在运动会比赛时,大家都穿运动服。文艺演出时,大家都要穿演出服。
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1701015790 数学文化教程 [:1701013732]
1701015791 数学文化教程 第五章 学一点微积分:局部和整体的矛盾统一
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1701015793 微积分开创了人类的科学黄金时代,成为人类理性精神胜利的标志。
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1701015795 恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪后半期微积分的发明那样,被看作是人类精神的最高胜利了。”(《自然辩证法》)
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1701015797 德国著名数学家库朗说:“微积分学,或称为数学分析,是人类思维的伟大成果之一……这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶;这种奋斗已经历了两千五百多年之久,它深深扎根于人类活动的许多领域。”
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1701015799 当牛顿和莱布尼茨将微积分大幕徐徐拉开的时候,人们看到一座简朴而坚实的舞台——实数系。笛卡儿为这座实数舞台提供了“坐标几何”的布景。+,=,π,√,×,ε,≠……像星星在天幕上闪烁着。人们熟知的区间上的“平均速度”、“单调增加和减少”,最大值和最小值等,成为简单而实用的道具。舞台的中央,有一只谜箱,其中装满了各种各样的“函数”。
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1701015801 微积分开始登场了。第一号主角是微分。他表演的是如何展现“曲线”。只见他挥舞魔杖“极限”,透过无限隧道,直指谜箱。谜箱中的函数,像一个个的小精灵,跳出来展现他们舞动的瞬时速度,以及他们婀娜舞姿的曲线。
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1701015803 微分大声宣告:你要了解这些函数“整体的变化量”,请深入探究函数局部的变化率吧。
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