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清代学者袁枚说过：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄。”一个人，光有知识不行，只有知识和能力也不行。就如放箭，有能力弯弓搭箭成满月状，但是不知道目标在哪里，两眼一抹黑，怎能打中目标？话说得真好。我们缺的就是这种见识。
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1654年，法国数学家巴斯卡写给费马的一封信。其中涉及赌徒提出的一个问题：两个赌者在一场中断的赌博中，如何根据获胜所需局数，以及各自已经获胜的局数，合理地分配赌金。他们通过通信讨论这一问题，于是就有了上述关于“期望值”的数学，以此见识引领得到解答，是为概率论之发端。史树中教授的问题即改编于此。
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一些优秀的数学家，能够在看不见数学的地方发现和运用数学。上面的数学期望值是其中一个简单的例子。这使我们联想起第二次世界大战以后，1948年时在美国出现的三项伟大数学成就。
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维纳发表《控制论》，仙农发表《信息论》，冯·诺依曼提出计算机方案，这三项数学成就，不是通常我们所解决的那种“已知—求证”式的数学问题，而是在一般人看不见数学的地方发现和创立数学（图4.10.1）。打电报传送的信息，可以是数学研究的对象吗？用大脑控制手去拾地下的铅笔，可以构成“数学控制论”吗？研究数字电子计算机会改变时代吗？他们三个人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献。创立了信息论、控制论和设计了电子计算机方案。在别人看不见的地方，发现了数学问题，解决了数学问题，这是最大的数学创新。
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◀ 图4.10.1 三位信息时代数学的开拓者
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[1] 摘自《小学教学参考》：2005年第28期，刊首语《最高的诗是数学》。
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[2]我们还可以有另外的比喻：一个人可以有不同的装束：校服、运动服、唐装、西装领带、夹克衫、牛仔服等。所有的装束下，尽管多种多样，都是同一个人。两个分数通分，相当于两个人都穿一种服装。在教室里上课，大家都穿校服。在运动会比赛时，大家都穿运动服。文艺演出时，大家都要穿演出服。
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数学文化教程 第五章 学一点微积分：局部和整体的矛盾统一
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微积分开创了人类的科学黄金时代，成为人类理性精神胜利的标志。
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恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪后半期微积分的发明那样，被看作是人类精神的最高胜利了。”（《自然辩证法》）
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德国著名数学家库朗说：“微积分学，或称为数学分析，是人类思维的伟大成果之一……这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域。”
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当牛顿和莱布尼茨将微积分大幕徐徐拉开的时候，人们看到一座简朴而坚实的舞台——实数系。笛卡儿为这座实数舞台提供了“坐标几何”的布景。+，=，π，√，×，ε，≠……像星星在天幕上闪烁着。人们熟知的区间上的“平均速度”、“单调增加和减少”，最大值和最小值等，成为简单而实用的道具。舞台的中央，有一只谜箱，其中装满了各种各样的“函数”。
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微积分开始登场了。第一号主角是微分。他表演的是如何展现“曲线”。只见他挥舞魔杖“极限”，透过无限隧道，直指谜箱。谜箱中的函数，像一个个的小精灵，跳出来展现他们舞动的瞬时速度，以及他们婀娜舞姿的曲线。
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微分大声宣告：你要了解这些函数“整体的变化量”，请深入探究函数局部的变化率吧。
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“速度”出场，向大家诉说“飞矢不动”的悖论：运动物体，在一个时刻只能在一个地方，在这个时刻，物体根本没有动，何谈速度？微分用魔杖显示跨越悖论的智力：考察该时刻的附近，形成一个微小的时间间隔[t，t+Δt]，求出物体的平均速度，然后令Δt→0，瞬时速度就显示出来了。
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“割线”出场，向大家诉说曲线的切线很难画哦！孤零零的一点怎么画切线呢？微分又祭起魔杖，先计算割线的斜率Δy/Δx，然后令Δx→0，得到的便是切线的斜率。利用直线的点斜式，切线就画出来了。
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一点→构造一点的附近→计算附近间隔的相对变化率
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→令间隔趋向于0→得到极限值：一点的变化率（局部性质）。
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第一幕结束了。原来，微分展现的是求局部变化率的魔法。只知道函数的变化量是不够的，还要知道变化率。只知道相对变化率还不深刻，必须知道函数的局部变化率。有了局部变化率，运动物体在一点可以谈速度。曲线在某点可以画出切线。一个新天地打开了。
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接下来的剧情是出现微分的逆运算：积分。当积分和微分统一在一个公式里的时候，理性的天空出现霞光万道，人类文明向前跨越了一大步。美丽的微积分，让我们学习它、欣赏它、发扬它，乘风破浪，奔向更加美好的远方。
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