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1701015795 恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪后半期微积分的发明那样,被看作是人类精神的最高胜利了。”(《自然辩证法》)
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1701015797 德国著名数学家库朗说:“微积分学,或称为数学分析,是人类思维的伟大成果之一……这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶;这种奋斗已经历了两千五百多年之久,它深深扎根于人类活动的许多领域。”
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1701015799 当牛顿和莱布尼茨将微积分大幕徐徐拉开的时候,人们看到一座简朴而坚实的舞台——实数系。笛卡儿为这座实数舞台提供了“坐标几何”的布景。+,=,π,√,×,ε,≠……像星星在天幕上闪烁着。人们熟知的区间上的“平均速度”、“单调增加和减少”,最大值和最小值等,成为简单而实用的道具。舞台的中央,有一只谜箱,其中装满了各种各样的“函数”。
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1701015801 微积分开始登场了。第一号主角是微分。他表演的是如何展现“曲线”。只见他挥舞魔杖“极限”,透过无限隧道,直指谜箱。谜箱中的函数,像一个个的小精灵,跳出来展现他们舞动的瞬时速度,以及他们婀娜舞姿的曲线。
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1701015803 微分大声宣告:你要了解这些函数“整体的变化量”,请深入探究函数局部的变化率吧。
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1701015805 “速度”出场,向大家诉说“飞矢不动”的悖论:运动物体,在一个时刻只能在一个地方,在这个时刻,物体根本没有动,何谈速度?微分用魔杖显示跨越悖论的智力:考察该时刻的附近,形成一个微小的时间间隔[t,t+Δt],求出物体的平均速度,然后令Δt→0,瞬时速度就显示出来了。
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1701015807 “割线”出场,向大家诉说曲线的切线很难画哦!孤零零的一点怎么画切线呢?微分又祭起魔杖,先计算割线的斜率Δy/Δx,然后令Δx→0,得到的便是切线的斜率。利用直线的点斜式,切线就画出来了。
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1701015809 一点→构造一点的附近→计算附近间隔的相对变化率
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1701015811 →令间隔趋向于0→得到极限值:一点的变化率(局部性质)。
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1701015813 第一幕结束了。原来,微分展现的是求局部变化率的魔法。只知道函数的变化量是不够的,还要知道变化率。只知道相对变化率还不深刻,必须知道函数的局部变化率。有了局部变化率,运动物体在一点可以谈速度。曲线在某点可以画出切线。一个新天地打开了。
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1701015815 接下来的剧情是出现微分的逆运算:积分。当积分和微分统一在一个公式里的时候,理性的天空出现霞光万道,人类文明向前跨越了一大步。美丽的微积分,让我们学习它、欣赏它、发扬它,乘风破浪,奔向更加美好的远方。
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1701015820 数学文化教程 [:1701013733]
1701015821 数学文化教程 第一节 “一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限
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1701015823 极限,是普通名词,又是数学名词,二者意境相通。古老的朦胧极限概念开启微积分时代,牛顿的无穷小量引起数学危机。以后经过200年的风雨,在19世纪末,极限理论获得了稳固的根基。
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1701015825 “极”、“限”二字,古已有之。今人把“极限”连起来,把不可逾越的数值称为极限。“挑战极限”,是眼下最时髦的词语和活动了。登珠峰,穿两极的禁区是极限,牙买加短跑名将博尔特在北京鸟巢体育场上打破100米跑的世界纪录,使得人类体能的“极限”再次成为热门话题。1859年,李善兰和伟烈亚力翻译《代微积拾级》,将“limit”翻译为“极限”,用以表示变量的变化趋势。于是,“极限”又成了专有数学名词。
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1701015827 1.极限:变量的归宿
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1701015829 中国人喜欢用庄子所说的“一尺之棰,日去其半,万世不竭”作为极限的例子。它非常形象地描述了一个潜无限的变化过程的归宿:0。用数学符号可以表示为以下数列
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1701015831 1,1/2,…,1/2n ,…
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1701015833 当n→∞时,它的归宿是极限0。
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1701015835 前已提及,徐利治先生喜欢引用李白的《送孟浩然之广陵》诗来解释极限:
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1701015837 故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。
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1701015839 孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。
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1701015841 “孤帆远影碧空尽”一句,描述了“孤帆”远影的大小(变量)趋向于0的动态意境。诗情画意的意境是碧空“尽”,数量上的最后归宿也是0。
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1701015843 “孤帆远影碧空尽”与“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的区别在于:变化过程是连续的,不再是离散的。它不再是潜无限的数列的极限,而是经历了航行中无数时刻的实无限的连续变化过程。用数学符号写出来则是
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