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恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪后半期微积分的发明那样，被看作是人类精神的最高胜利了。”（《自然辩证法》）
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德国著名数学家库朗说：“微积分学，或称为数学分析，是人类思维的伟大成果之一……这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域。”
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当牛顿和莱布尼茨将微积分大幕徐徐拉开的时候，人们看到一座简朴而坚实的舞台——实数系。笛卡儿为这座实数舞台提供了“坐标几何”的布景。+，=，π，√，×，ε，≠……像星星在天幕上闪烁着。人们熟知的区间上的“平均速度”、“单调增加和减少”，最大值和最小值等，成为简单而实用的道具。舞台的中央，有一只谜箱，其中装满了各种各样的“函数”。
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微积分开始登场了。第一号主角是微分。他表演的是如何展现“曲线”。只见他挥舞魔杖“极限”，透过无限隧道，直指谜箱。谜箱中的函数，像一个个的小精灵，跳出来展现他们舞动的瞬时速度，以及他们婀娜舞姿的曲线。
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微分大声宣告：你要了解这些函数“整体的变化量”，请深入探究函数局部的变化率吧。
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“速度”出场，向大家诉说“飞矢不动”的悖论：运动物体，在一个时刻只能在一个地方，在这个时刻，物体根本没有动，何谈速度？微分用魔杖显示跨越悖论的智力：考察该时刻的附近，形成一个微小的时间间隔[t，t+Δt]，求出物体的平均速度，然后令Δt→0，瞬时速度就显示出来了。
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“割线”出场，向大家诉说曲线的切线很难画哦！孤零零的一点怎么画切线呢？微分又祭起魔杖，先计算割线的斜率Δy/Δx，然后令Δx→0，得到的便是切线的斜率。利用直线的点斜式，切线就画出来了。
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一点→构造一点的附近→计算附近间隔的相对变化率
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→令间隔趋向于0→得到极限值：一点的变化率（局部性质）。
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第一幕结束了。原来，微分展现的是求局部变化率的魔法。只知道函数的变化量是不够的，还要知道变化率。只知道相对变化率还不深刻，必须知道函数的局部变化率。有了局部变化率，运动物体在一点可以谈速度。曲线在某点可以画出切线。一个新天地打开了。
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接下来的剧情是出现微分的逆运算：积分。当积分和微分统一在一个公式里的时候，理性的天空出现霞光万道，人类文明向前跨越了一大步。美丽的微积分，让我们学习它、欣赏它、发扬它，乘风破浪，奔向更加美好的远方。
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数学文化教程 第一节 “一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限
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极限，是普通名词，又是数学名词，二者意境相通。古老的朦胧极限概念开启微积分时代，牛顿的无穷小量引起数学危机。以后经过200年的风雨，在19世纪末，极限理论获得了稳固的根基。
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“极”、“限”二字，古已有之。今人把“极限”连起来，把不可逾越的数值称为极限。“挑战极限”，是眼下最时髦的词语和活动了。登珠峰，穿两极的禁区是极限，牙买加短跑名将博尔特在北京鸟巢体育场上打破100米跑的世界纪录，使得人类体能的“极限”再次成为热门话题。1859年，李善兰和伟烈亚力翻译《代微积拾级》，将“limit”翻译为“极限”，用以表示变量的变化趋势。于是，“极限”又成了专有数学名词。
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1.极限：变量的归宿
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中国人喜欢用庄子所说的“一尺之棰，日去其半，万世不竭”作为极限的例子。它非常形象地描述了一个潜无限的变化过程的归宿：0。用数学符号可以表示为以下数列
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1,1/2,…,1/2n ,…
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当n→∞时，它的归宿是极限0。
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前已提及，徐利治先生喜欢引用李白的《送孟浩然之广陵》诗来解释极限：
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故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。
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孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
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“孤帆远影碧空尽”一句，描述了“孤帆”远影的大小（变量）趋向于0的动态意境。诗情画意的意境是碧空“尽”，数量上的最后归宿也是0。
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“孤帆远影碧空尽”与“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的区别在于：变化过程是连续的，不再是离散的。它不再是潜无限的数列的极限，而是经历了航行中无数时刻的实无限的连续变化过程。用数学符号写出来则是
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