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接下来的剧情是出现微分的逆运算：积分。当积分和微分统一在一个公式里的时候，理性的天空出现霞光万道，人类文明向前跨越了一大步。美丽的微积分，让我们学习它、欣赏它、发扬它，乘风破浪，奔向更加美好的远方。
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数学文化教程 第一节 “一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限
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极限，是普通名词，又是数学名词，二者意境相通。古老的朦胧极限概念开启微积分时代，牛顿的无穷小量引起数学危机。以后经过200年的风雨，在19世纪末，极限理论获得了稳固的根基。
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“极”、“限”二字，古已有之。今人把“极限”连起来，把不可逾越的数值称为极限。“挑战极限”，是眼下最时髦的词语和活动了。登珠峰，穿两极的禁区是极限，牙买加短跑名将博尔特在北京鸟巢体育场上打破100米跑的世界纪录，使得人类体能的“极限”再次成为热门话题。1859年，李善兰和伟烈亚力翻译《代微积拾级》，将“limit”翻译为“极限”，用以表示变量的变化趋势。于是，“极限”又成了专有数学名词。
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1.极限：变量的归宿
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中国人喜欢用庄子所说的“一尺之棰，日去其半，万世不竭”作为极限的例子。它非常形象地描述了一个潜无限的变化过程的归宿：0。用数学符号可以表示为以下数列
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1,1/2,…,1/2n ,…
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当n→∞时，它的归宿是极限0。
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前已提及，徐利治先生喜欢引用李白的《送孟浩然之广陵》诗来解释极限：
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故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。
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孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
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“孤帆远影碧空尽”一句，描述了“孤帆”远影的大小（变量）趋向于0的动态意境。诗情画意的意境是碧空“尽”，数量上的最后归宿也是0。
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“孤帆远影碧空尽”与“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的区别在于：变化过程是连续的，不再是离散的。它不再是潜无限的数列的极限，而是经历了航行中无数时刻的实无限的连续变化过程。用数学符号写出来则是
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当t→t0 ，Xt→0.
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这里，t0表示“孤帆”消失的那一时刻，Xt表示在时刻t可以观察到的“孤帆”大小。在t→t0的过程中，时间连续变化，经历了无限多的时刻。总之，“孤帆”经历的不是数列的极限，而是连续变量的极限。
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中国古代数学家能够运用圆内接正多边形面积的极限过程求圆周率。刘徽的“割圆术”中说，“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则无失矣”，把极限的动态过程及其归宿，描写得十分透彻和传神。这就是说，如果一个变量具有向一个有限数A无限接近的趋势，我们把这个数A称为该变量的极限。
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2.数列极限的再认识
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数列是离散的变量。我们把有极限的数列称为收敛数列。没有极限的数列称为发散数列。
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（1）有理数组成的收敛数列，极限值可能是有理数，也可能是无理数。
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在一尺之棰的例子中，棰的剩余部分的长度构成无穷等比数列{rn}={1/2n}，当n→∞时，其极限是0。
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若看取出的部分，则构成另一个数列1/2，3/4，7/8，…，（2n-1）/2n，…。它也是无穷数列{sn}，通项是（2n-1）/2n=[1-（1/2n）]。我们有sn→1。
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（2）无理数 2，是数列{1.4，1.41，1.414，1.414 2，…}的极限。这个数列，虽然写不出通项，却知道它不断地接近一个实数，即其极限是单位正方形的对角线长度。
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（3）同样地，半径为1的圆面积是π，圆周率π也是一串有理数数列的极限。
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