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（1）有理数组成的收敛数列，极限值可能是有理数，也可能是无理数。
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在一尺之棰的例子中，棰的剩余部分的长度构成无穷等比数列{rn}={1/2n}，当n→∞时，其极限是0。
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若看取出的部分，则构成另一个数列1/2，3/4，7/8，…，（2n-1）/2n，…。它也是无穷数列{sn}，通项是（2n-1）/2n=[1-（1/2n）]。我们有sn→1。
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（2）无理数 2，是数列{1.4，1.41，1.414，1.414 2，…}的极限。这个数列，虽然写不出通项，却知道它不断地接近一个实数，即其极限是单位正方形的对角线长度。
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（3）同样地，半径为1的圆面积是π，圆周率π也是一串有理数数列的极限。
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（4）数列的各项不必都是单调增加或单调减少地逼近极限。例如数列{（-1）n ·（1/n）}逐项写出来是
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-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,1/6,…
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它的各项在0附近跳跃，一会儿正，一会儿负，但也以0为极限。
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（5）数列的极限不必一定是每项都比前一项靠近极限，但是最后的总趋势是靠近极限。例如数列
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1,1/3,1/2,1/5,1/4,…,1/n,1/(n-1),…
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的极限也是0，但是各项离极限0的距离有反复，第2项1/3离0近，第3项1/2反而离0远些，不过它的总体趋势还是靠近0。
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（6）常数列也是有极限的。同数列可以有相同极限。例如，成常数列1，1，1，…，1，…的极限就是1。所有有限小数都可以看成是常数数列。
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（7）不同的数列可以有相同的极限，例如0是许多数列的极限。如前所说：
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0,0,0,…,0,…
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1,1/2,1/22,1/23,…,1/2n…,
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-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,1/6,…,-1/n,1/(n+1),…
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它们的极限都是0。
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（8）实数可用收敛数列的极限来定义。如果是有限小数，可以表示为常数列。如0.5，0.5，0.5，…，0.5，…，它的极限就是0.5。如果是无限循环小数，就看作由前n位小数所组成的有限小数数列的极限。例如0.99999…可以看作0.9，0.99，0.999，…这一数列的极限，其极限是1。如果是无限不循环小数，如，也是某个数列的极限。总之，实数是可以用有理数列的极限来定义的。
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数学文化教程 [:1701013734]
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数学文化教程 第二节 用“有限”符号装点的“极限”女神——数列极限严格定义的欣赏
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前面我们运用极限的直觉，借助特殊的数列极限示例，对极限作了大致的描述。这一节我们将运用现代的数学符号，给出数列极限的严格定义。一旦拨开神秘的“无限”面纱，我们看到的是一座精美的“极限”雕像。
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19世纪中叶以后，人们探索微积分的严密化。法国数学家柯西是一个关键人物。演变至今，数列极限的严格定义可以叙述如下：
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定义 设{Xn}是实数数列，若存在某一个实数X，使得对任意给定的正数ε＞0，总有自然数N，当n＞N时，|Xn-X|＜ε，则称X为数列{Xn}的极限，记为：Xn→X或X=。例如，数列{1+1/n}的极限是1。我们用上述定义验证如下。
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