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数学文化教程 [:1701013734]
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数学文化教程 第二节 用“有限”符号装点的“极限”女神——数列极限严格定义的欣赏
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前面我们运用极限的直觉，借助特殊的数列极限示例，对极限作了大致的描述。这一节我们将运用现代的数学符号，给出数列极限的严格定义。一旦拨开神秘的“无限”面纱，我们看到的是一座精美的“极限”雕像。
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19世纪中叶以后，人们探索微积分的严密化。法国数学家柯西是一个关键人物。演变至今，数列极限的严格定义可以叙述如下：
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定义 设{Xn}是实数数列，若存在某一个实数X，使得对任意给定的正数ε＞0，总有自然数N，当n＞N时，|Xn-X|＜ε，则称X为数列{Xn}的极限，记为：Xn→X或X=。例如，数列{1+1/n}的极限是1。我们用上述定义验证如下。
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任给正数ε（比如万分之一），为了使
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|(1+1/n)-1|=|1/n|＜ε=1/10 000,
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只要把项数N取为10 000，那么当n＞10 000时，上述不等式就都能成立了。
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极限是一个无限的变化过程。本来只能“意会”，难以言传。现在，我们看到的这个极限定义，根本没有无限、过程、变化、趋势之类的字眼。这段数学家曾经探讨几百年的极限定义，可以像齐白石的画、罗丹的雕塑、贝多芬的音乐一样，通过不同的角度，细细地加以欣赏。即使我们自己不能充分掌握它、运用它，至少也能欣赏它。我们可以从以下三个角度进行欣赏。
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欣赏角度1 从字面上看，这是“若要靠近极限到某程度ε，只需项数靠后到某程度N”那样的语句。俗语“若要铁杵磨成针，只要功夫深”，也是这样的意境。这种说法，把要达成的逼近度ε，归结为寻求靠后程度N的活动，而且N的寻求是可以根据给出ε进行操作的，这就消除了“无限过程”的神秘感。
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欣赏角度2 这是一个“算术化“的定义。极限本来是变动的无限过程，但是，在这一定义中只有加减乘除、绝对值、大于小于这样的“算术”运算。什么“无限过程”、“不断变化”、“越来越接近”之类的模糊语言全都不见了，似乎把动态的极限过程静态化和有限化了。有限的词语揭开了“无限”的面纱，这是人类智慧的结晶！
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欣赏角度3 这一定义，不是具体地看数列的变化过程，而是从整体上加以把握。无论是“日取其半”，还是“割之又割”，抑或“无限逼近”，都被此定义统一概括：变量趋向于一个极限，一步步地越走越近当然可以，进两步、退一步也还是接近。正如黄河九曲十八弯，最后还是注入大海，寻到最后的“归宿”。
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《庄子·天下篇》说“人生有涯矣，知无涯矣，以有涯随无涯，殆矣”。人的一生虽然不能穷尽所有知识，但是人的能动思维却能跨越无限，用可以操作的有限来表达无限。极限的这一表达，奠定了微积分的坚实基础。
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极限的性质 设数列{Xn}有极限X，那么
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（1）（齐次性）若Xn→X，c为实数，则数列{cXn}有极限cX。即收敛数列的c倍数列，其极限是原有极限的c倍。
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（2）（可加性）Xn→X且Yn→Y，则Xn+Yn→X+Y。即两个收敛数列之和，其极限为原有两数列极限之和。
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将（1）与（2）结合，可得：
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Xn→X且Yn→Y，c，d为实数，则cXn+dYn→cX+dY。
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（3）（可乘性）若Xn→X且Yn→Y，则Xn · Yn→X · Y。
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（4）（可除性）Xn→X且Yn→Y≠0，则Xn/Yn→X/Y。
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（5）若Xn→X，则Xn的子列Xnk→X。意思是有极限的数列其任何子数列有极限且相等。
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（6）（非负性）Xn→X且Xn≥0，则X≥0。即非负数列的极限也是非负的。
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以上的性质，我们用严格的定义都能加以证明。这里只证明可加性。
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证明 由Xn→X且Yn→Y，则对任意给定的正数ε＞0，取其一半为，总有自然数N1，当n＞N1时，|Xn-X|＜；此外，对同样的正数ε＞0，又有自然数N2，当n＞N2时，|Yn-Y|＜；这样，令N=max（N1，N2），则当n＞N时，